kropka+ pisze:a4karo pisze:\(\displaystyle{ a=-1/16}\) wydaje się być błędem
Ten rysunek może sugerować (choć daleko mu do dowodu), że dla
\(\displaystyle{ a=-1/16}\) układ równań ma jedynie zerowe rozwiązanie. Zauważ jednak, że w zadaniu jest pytanie o WSZYSTKIE wartości parametru.
Na pewno zatem nie jest to odpowiedź poprawna, a napisałem, że wydaje się być błędem, bo nie jest to nawet wartość graniczna, gdzie zmienia się ilość rozwiązań.
Ponieważ w postach powyżej namieszałem ostro, zamieszczam dwa rozwiązania:
Rozwiązanie 1
Łatwo zauważyć (np. geometrycznie), że dla
\(\displaystyle{ a=0}\) układ równań ma jedyne rozwiązanie
\(\displaystyle{ (0,4)}\) .
Załóżmy, że
\(\displaystyle{ a\neq 0}\) , pomnóżmy drugie równanie przez
\(\displaystyle{ a}\) i wyrugujmy zmienną
\(\displaystyle{ x}\) .
Otrzymamy równanie:
\(\displaystyle{ (*)\quad ay^2+y-4(4a+1)=0}\)
Widać, że dla dowolnego
\(\displaystyle{ a\neq0}\) ,
\(\displaystyle{ y=4}\) jest pierwiastkiem tego równania. Ze wzorów Viete'a drugim pierwiastkiem jest:
\(\displaystyle{ y_a=-\frac{4a+1}{a}=-4-\frac{1}{a}}\)
Widać stąd, że dla dodatnich
\(\displaystyle{ a}\) pierwiastek
\(\displaystyle{ y_a}\) jest mniejszy niż
\(\displaystyle{ -4}\) , nie może zatem spełniać drugiego równania z układu. Podobnie będzie, gdy
\(\displaystyle{ y_a>4}\) , czyli gdy
\(\displaystyle{ a<-1/8}\) .
Dla
\(\displaystyle{ a=-1/8}\) mamy
\(\displaystyle{ y_a=4}\) co też daje jedno rozwiązanie układu.
Dla
\(\displaystyle{ -1/8<a<0}\) mamy
\(\displaystyle{ -4<y_a<4}\) , a to daje dodatkowe dwa rozwiązanie układu równań.
Odpowiedź: układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ a\geq -\frac{1}{8}}\) .
Rozwiązanie 2
Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu i rugując
\(\displaystyle{ y^2}\) dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ a^2x^4+(8a+1)x^2=0}\) , czyli
\(\displaystyle{ x^2(a^2x^2+8a+1)=0}\) .
Widać, że jednym z rozwiązań jest
\(\displaystyle{ x=0}\), co daje punkt
\(\displaystyle{ (0,4)}\) .
Drugie zaś, to
\(\displaystyle{ x_a^2=-\frac{8a+1}{a^2}}\) , przedstawia punkt przecięcia okręgu i paraboli różny od
\(\displaystyle{ (0,4)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ (**)\quad 0<-\frac{8a+1}{a^2}\leq 16}\)
Prawa nierówność jest spełniona zawsze, lewa dla
\(\displaystyle{ a<-1/8}\) .