Układ równań z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna

Układ równań z parametrem

Post autor: 85213 » 16 sty 2018, o 06:01

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\) , dla których układ
\(\begin{cases} y=ax ^{2}+4 \\ x ^{2}+y ^{2}=16 \end{cases}\)
ma jedno rozwiązanie.
Zadanie wydaje się proste, ale wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi. W odpowiedzi jest \(-\frac{1}{16}\) , a mi wychodzi \(-\frac{1}{8}\) . Na dodatek żadne z tych rozwiązań nie uwzględnia odpowiedzi \(a=0\) , a podstawiając \(a=0\) mamy tylko jedno rozwiązanie: \(y=4,\ x=0\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 00:40 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 16 sty 2018, o 06:52

Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(a\geq 0\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez \(a\) (nie wolno tego zrobić gdy \(a=0\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(y=16a-ay^2+4=0\), czyli \(ay^2+y-16a-4=0\)
którego wyróżnik jet równy \((8a-1)^2\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla \(a=-1/8\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(y\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(-4\leq y\leq 4\) .

Przeanalizuj to jeszcze raz.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Układ równań z parametrem

Post autor: PoweredDragon » 16 sty 2018, o 10:04

a4karo pisze:Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(a\geq 0\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
No jak dla mnie, to dla \(a=0\) nie ma paraboli.
a4karo pisze:Mnożąc drugie równanie przez \(a\) (nie wolno tego zrobić gdy \(a=0\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(y=16a-ay^2+4=0\)
Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że \(y=0\) ; jakiś błąd się Panu wkradł.
a4karo pisze:czyli \(ay^2+y-16a-4=0\) , którego wyróżnik jet równy \((8a-1)^2\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że dla \(a=-1/8\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(y\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(-4\leq y\leq 4\) .
Przeanalizuj to jeszcze raz.
A dla \(a = -\frac{1}{8}\) mamy \(y = 4\) , a więc mieści się nawet w zakresie wspomnianym przez Pana.

Dla \(a = -\frac{1}{16}\) z zadania mamy \(\Delta =\frac{9}{4}\)

\(y_1 = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{8}} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20\) –> nie spełnia warunków zadania,
\(y_2 = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{8}} = -4\) –> spełnia warunki zadania.

A jak dojść do tego \(a = -\frac{1}{16}\) ?
Można zrobić metodą a4karo, tylko przy założeniu \(-4 \le y \le 4\) .

I rozwiązywać na dwa sposoby:
\(\Delta = 0\) (to już zrobione) oraz \(\Delta > 0,\ y_1 \in \left\langle -4;4 \right\rangle\ \wedge\ y_2 \not \in \left\langle -4;4 \right\rangle\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 01:06 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 16 sty 2018, o 14:30

PoweredDragon pisze:No jak dla mnie to dla \(a = 0\) nie ma paraboli.
Już posypuję głowę popiołem.
a4karo pisze: Mnożąc drugie równanie przez \(a\) (nie wolno tego zrobić gdy \(a=0\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(y=16a-ay^2+4=0\)
Tu sobie pozwolę wytknąć przedzałożenie, że \(y = 0\) ; jakiś błąd się Panu wkradł.
A gdzie ja zakłądałem \(y=0\) ?
A dla \(a = -\frac{1}{8}\) mamy \(y = 4\) ,
To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt \((0,4)\) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości \(a\) jest to jedyny punkt wspólny.
Gdy \(a\) zmierza od zera do minus nieskończoności, te parabole są najpierw bardzo płaskie, więc drugiego punktu przecięcia nie będzie. Jak w końcu dotkną okręgu, to potem już zawsze będą go przecinać.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Układ równań z parametrem

Post autor: PoweredDragon » 16 sty 2018, o 15:08

\(y=16a-ay^2+4=0\)
To jest założenie, że \(y = 0\) , bowiem ze zsumowania tamtych układów otrzymujemy jedynie
\(y = 16a-ay^2+4\) , ale nie mamy równości z zerem. Mówiłem, gdzieś wkradł się jakiś błąd.
a4karo pisze:To nie jest żadna rewelacja: każda z parabol przechodzi przez punkt \((0,4)\) , więc jedyne co pozostaje do zrobienia to stwierdzenie, dla jakich wartości \(a\) jest to jedyny punkt wspólny.
A dla \(a = -\frac{1}{8}\) mamy niby więcej punktów wspólnych? No właśnie nie, więc jest to rozwiązanie zadania. (Poza tym teraz zauważyłem, że wyróżnik Pan źle zapisał, bo jest \((8a+1)^2\) ). Chyba, że ja czegoś nie widzę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 16 sty 2018, o 15:18

No to jeszcze raz ze stosownymi poprawkami. Dzięki Smoku.
a4karo pisze:Żadne z tych rozwiązań nie jest poprawne. Zauważ, że dla \(a\geq 0\) parabola i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Mnożąc drugie równanie przez \(a\) (nie wolno tego zrobić gdy \(a=0\) ) i wstawiając do pierwszego otrzymujemy równanie:
\(y=16a-ay^2+4\) , czyli \(ay^2+y-16a-4=0\) , którego wyróżnik jet równy \((8a+1)^2\) , ale to nie wystarcza żeby stwierdzić, że jedynie dla \(a=-1/8\) jest jedno rozwiązanie. Tak by było, gdyby interesowały nas wszystkie wartości \(y\) . Ale w tym konkretnym przypadku interesują nas tylko \(-4\leq y\leq 4\) .

Przeanalizuj to jeszcze raz.
Zauważyć warto, że dla dowolnego \(a\) rozwiązaniem układu jest \(y=4\) . A skoro tak, to drugi pierwiastek to \(\frac{16a-4}{a}\) i trzeba zbadać kiedy ten pierwiastek leży w przedziale \([-4,4]\)

\(a=-1/16\) wydaje się być błędem.

-- 16 sty 2018, o 15:19 --

Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź

Układ równań z parametrem

Post autor: kropka+ » 17 sty 2018, o 11:34

a4karo pisze:\(a=-1/16\) wydaje się być błędem.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... E2%3D16);)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Układ równań z parametrem

Post autor: a4karo » 19 sty 2018, o 05:26

[quote="kropka+"][quote="a4karo"]\(a=-1/16\) wydaje się być błędem[/quote]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... E2%3D16);)[/quote]
Ten rysunek może sugerować (choć daleko mu do dowodu), że dla \(a=-1/16\) układ równań ma jedynie zerowe rozwiązanie. Zauważ jednak, że w zadaniu jest pytanie o WSZYSTKIE wartości parametru.
Na pewno zatem nie jest to odpowiedź poprawna, a napisałem, że wydaje się być błędem, bo nie jest to nawet wartość graniczna, gdzie zmienia się ilość rozwiązań.


Ponieważ w postach powyżej namieszałem ostro, zamieszczam dwa rozwiązania:

Rozwiązanie 1

Łatwo zauważyć (np. geometrycznie), że dla \(a=0\) układ równań ma jedyne rozwiązanie \((0,4)\) .
Załóżmy, że \(a\neq 0\) , pomnóżmy drugie równanie przez \(a\) i wyrugujmy zmienną \(x\) .
Otrzymamy równanie:
\((*)\quad ay^2+y-4(4a+1)=0\)
Widać, że dla dowolnego \(a\neq0\) , \(y=4\) jest pierwiastkiem tego równania. Ze wzorów Viete'a drugim pierwiastkiem jest:
\(y_a=-\frac{4a+1}{a}=-4-\frac{1}{a}\)

Widać stąd, że dla dodatnich \(a\) pierwiastek \(y_a\) jest mniejszy niż \(-4\) , nie może zatem spełniać drugiego równania z układu. Podobnie będzie, gdy \(y_a>4\) , czyli gdy \(a<-1/8\) .
Dla \(a=-1/8\) mamy \(y_a=4\) co też daje jedno rozwiązanie układu.

Dla \(-1/8<a<0\) mamy \(-4<y_a<4\) , a to daje dodatkowe dwa rozwiązanie układu równań.

Odpowiedź: układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \(a\geq -\frac{1}{8}\) .

Rozwiązanie 2

Podnosząc pierwsze równanie do kwadratu i rugując \(y^2\) dostajemy równanie:
\(a^2x^4+(8a+1)x^2=0\) , czyli \(x^2(a^2x^2+8a+1)=0\) .

Widać, że jednym z rozwiązań jest \(x=0\), co daje punkt \((0,4)\) .
Drugie zaś, to \(x_a^2=-\frac{8a+1}{a^2}\) , przedstawia punkt przecięcia okręgu i paraboli różny od \((0,4)\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\((**)\quad 0<-\frac{8a+1}{a^2}\leq 16\)

Prawa nierówność jest spełniona zawsze, lewa dla \(a<-1/8\) .
Ostatnio zmieniony 20 sty 2018, o 06:34 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ