Matematyka.pl

Dla jakiej wartości k rozwiązaniem układu jest para liczb dodatnich?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=k-1\\2x-y=3-k\end{cases}}\)

Z pierwszego równania wyliczam sobie\(\displaystyle{ -y}\),
a następnie wstawiam \(\displaystyle{ -y=-x+k-1}\) do drugiego równania.

Powstaje mi równanie \(\displaystyle{ x=4-2k}\), a skoro x musi być większe od 0, to \(\displaystyle{ k \le 2}\).
(k musi byćwiększe od 2, tylko nie wiem jak to się robi w latexie).

Co później trzeba z tym zrobić? I czy to co obliczyłam jest w ogóle dobrze?

Tutaj trzeba wyznaczyć, dla jakiego k x i y będzie > 0, na razie wyznaczyłeś dla x, teraz tak samo musisz wyznaczyć dla y

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=k-1\\2x-y=3-k\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=k+y-1\\2(k+y-1)-y=3-k\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=k+y-1\\2k+2y-2-y=3-k\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=k+y-1\\y=-3k+5\end{cases}}\)

y ma być większe od 0, więc:

\(\displaystyle{ -3k+5>0}\)

\(\displaystyle{ -3k>-5 /:(-3)}\)

\(\displaystyle{ k<\frac{5}{3}}\)

Teraz tak samo robimy z iksem:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=k-1\\2x-y=3-k\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-k+1\\2x-(x-k+1)=3-k\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-k+1\\2x-x+k-1=3-k\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-k+1\\x=-2k+4\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -2k+4>0}\)

\(\displaystyle{ -2k>-4 /:(-2)}\)

\(\displaystyle{ k<2}\)

Na koniec bierzemy wspólną część i otrzymujemy wynik:

\(\displaystyle{ k\in \left(-\infty ; \frac{5}{3}\right)}\)

Pozdrawiam.

Musisz jeszcze wyliczyć y w zależności od k:
\(\displaystyle{ -y=-x+k-1\\y=x-k+1\\y=4-2k-k+1\\y=5-3k}\)

I y>0:
\(\displaystyle{ 5-3kk<\frac{5}{3}}\)

Masz układ warunków:
\(\displaystyle{ \begin{cases} k<2 \\ k<\frac{5}{3} \end{cases} \ \Rightarrow \ k<\frac{5}{3}}\)