Równanie różniczkowe

[Karolinaa0]

Czy mogłabym prosić o jakąś wskazówkę jaką metodę zastosować można do obliczenia takiego równania różniczkowego: \(\displaystyle{ y'-2xy=2x^3y^2}\) ? Z góry bardzo dziękuję

[Premislav]

Jest to równanie różniczkowe Bernoulliego:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_Bernoulliego

Metoda opisana w linku.

[Karolinaa0]

Bardzo dziękuję. A takie równanie: \(\displaystyle{ (x+y)dx+(x+2y) dy = 0}\) to równanie różniczkowe, w którym trzeba zastosować metodę macierzową, gdy wyznacznik nie jest równy zeru?

[Premislav]

No właśnie nie jest zupełne i chcemy go do takiego sprowadzić. Tak, należy zastosować czynnik całkujący, a to, jak się za takie rzeczy zabierać, opisano dość dokładnie o tutaj:
Czynnik całkujący w równaniach różniczkowych

[Karolinaa0]

A metodą macierzową można spróbować rozwiązać to równanie?

Dodano po 1 minucie 21 sekundach:
tj. typu : \(\displaystyle{ y'=f\left( \frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \right) }\) ?

[Premislav]

Metoda macierzowa to chyba jest dobra przy układach równań różniczkowych liniowych, czyli musiałabyś to najpierw sprowadzić to równanie do układu równań liniowych pierwszego rzędu. Ale nie lubię algebry liniowej, więc metodę macierzową stosowałem rzadko, czyli mogę być w tej kwestii niedoinformowany.

Dodano po 3 minutach 2 sekundach:
Ja to bym najchętniej to w ogóle przepisał w postaci
\(\displaystyle{ (x+2y)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+x+y=0}\) i podstawił \(\displaystyle{ u=x+2y}\).

[Karolinaa0]

Sprowadziłam :\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{-x-y}{x+2y} }\). Wyznacznik będzie równy \(\displaystyle{ -1 \neq 0}\) . I potem zgodnie ze schematem rozwiązywania metodą macierzową, z układu równań wyliczę \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a potem otrzymam równanie typu \(\displaystyle{ y'=f\left( \frac{y}{x} \right) }\) . Ostatnim krokiem jest rozwiązanie równania o zmiennych rozdzielonych. Spróbuję obiema metodami, czynnikiem całkującym i tą metodą macierzową.

Dodano po 5 minutach 59 sekundach:
A jeszcze jeśli mogłabym zapytać jakie podstawienie można użyć, aby rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy'ego: \(\displaystyle{ y'-2y=2yt, y(0)=1}\) ? Z samym \(\displaystyle{ y'' , y', y}\) stosowałam podstawienie : \(\displaystyle{ y'=u, y''=uu'}\). Natomiast gdy pojawia się \(\displaystyle{ x}\) to mam problem z dobraniem podstawienia. Z góry bardzo dziękuję.

[Janusz Tracz]

A jeszcze jeśli mogłabym zapytać jakie podstawienie można użyć, aby rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy'ego: \(\displaystyle{ y'-2y=2yt, y(0)=1}\) ?

Tu się da rozdzielić zmienne

\(\displaystyle{ y'-2y=2yt}\)

\(\displaystyle{ y'=2yt+2y}\)

\(\displaystyle{ y'=2yt+2y}\)

\(\displaystyle{ \frac{y'}{y}=2t+2 }\)