wykzać warunek z pochodną
: 7 paź 2007, o 10:32
Wykazać że jeśli f : R -> R spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x R}\) warunek \(\displaystyle{ f'(x)=2f(x), to f(x)=Ce^{2x}}\) dla każdego \(\displaystyle{ C R}\)
Zapisze ci dowod mojego typka od cwiczen, wiec nie bede wyjasnial:
\(\displaystyle{ Niech\ g(x)=f(x)\cdot e^{-2x},\ x\in\mathbb{R}\\
Wtedy:\\
g'(x)=f'(x)\cdot e^{-2x}+f(x)\cdot(-2)\cdot e^{-2x}=2f(x)e^{-2x}-2f(x)e^{-2x}=0, x\in\mathbb{R}\ \ \exists_{C\in\mathbb{R}}\ \forall_{x\in\mathbb{R}}\ \ \underbrace{g(x)}_{f(x)\cdot e^{-2x}}=C,\ \ f(x)=Ce^{-2x}\ \forall_{x\in\mathbb{R}}}\)
Nie do konca czaje czy jest to ok ale przepisywalem z tablicy... POZDRO