Matematyka.pl

Cześć
Bardzo proszę o sprawdzenie czy dobrze obliczyłam zadanie:

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= x ^{3}-6xy+2 y^{2}}\)

\(\displaystyle{ f'x= 3 x^{2}-6y\\
f'_y=-6x+4y\\
f''_{xx}=6x\\
f''_{yy}=4\\
f''_{xy}=-6 \\ F''=\left[\begin{array}{cc}6x&-6\\-6&4\end{array}\right]\\
\begin{cases} 0=3 x^{2}-6 \\0=-6x+4y\end{cases}}\)

Z II równania:
\(\displaystyle{ 6x=4y \\
y=\frac{6}{4}x}\)

Z I równania:
\(\displaystyle{ 0=3x^{2}-6y\\
0=3x ^{2}-6 \cdot \frac{6}{4}x\\
0=3x(x-3)\\
x=0 \vee x=3 \\
y _{1}=0 \cdot \frac{6}{4}=0\\
y _{2}=3 \cdot \frac{6}{4}= \frac{18}{4}=4,5 \\
\begin{cases} x=0\\y=0\end{cases}\\
\begin{cases} x=3\\y=4,5\end{cases} \\
A=\left[\begin{array}{cc}0&-6\\-6&4\end{array}\right] \\
\Delta _{1}=0\\
\Delta _{2}=36}\)
nieokreślone

\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}18&-6\\-6&4\end{array}\right]\\
\Delta _{1}=1\\
\Delta _{2}=36}\)
min. lokalne

Niemal do końca poprawnie. Nie wiem jakie znaczenie mają symbole \(\displaystyle{ \Delta_1,\ \Delta_2}\) występujące w obliczeniach związanych z hesjanem. Istnienie ekstremum stwierdza się na podstawie wyznacznika, natomiast jego typ (minimum bądź maksimum) na podstawie drugiej pochodnej cząstkowej \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}}\). Dokładne wyjaśnienie znajdziesz w podręczniku analizy matematycznej.

Witam mam problem z takim zadaniem
Prosze wyznaczyc ekstremum lokalne funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)=1+6x-x^2 -xy-y^2}\)

Chromosom pisze:Niemal do końca poprawnie. Nie wiem jakie znaczenie mają symbole \(\displaystyle{ \Delta_1,\ \Delta_2}\) występujące w obliczeniach związanych z hesjanem. Istnienie ekstremum stwierdza się na podstawie wyznacznika, natomiast jego typ (minimum bądź maksimum) na podstawie drugiej pochodnej cząstkowej \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}}\). Dokładne wyjaśnienie znajdziesz w podręczniku analizy matematycznej.

Chodzi o kryterium Sylvestera określoności macierzy a tym samym określenia rodzaju ekstremum.
Wszystkie minory główne dodatnie dają minimum lokalne.
Na przemian ujemne i dodatnie określają maksimum.