Wyznacz ekstrema lokalne funkcji - dobrze?

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Suey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 16 sty 2011, o 17:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji - dobrze?

Post autor: Suey » 7 wrz 2011, o 17:36

Cześć
Bardzo proszę o sprawdzenie czy dobrze obliczyłam zadanie:

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= x ^{3}-6xy+2 y^{2}}\)

\(\displaystyle{ f'x= 3 x^{2}-6y\\ f'_y=-6x+4y\\ f''_{xx}=6x\\ f''_{yy}=4\\ f''_{xy}=-6 \\ F''=\left[\begin{array}{cc}6x&-6\\-6&4\end{array}\right]\\ \begin{cases} 0=3 x^{2}-6 \\0=-6x+4y\end{cases}}\)

Z II równania:
\(\displaystyle{ 6x=4y \\ y=\frac{6}{4}x}\)

Z I równania:
\(\displaystyle{ 0=3x^{2}-6y\\ 0=3x ^{2}-6 \cdot \frac{6}{4}x\\ 0=3x(x-3)\\ x=0 \vee x=3 \\ y _{1}=0 \cdot \frac{6}{4}=0\\ y _{2}=3 \cdot \frac{6}{4}= \frac{18}{4}=4,5 \\ \begin{cases} x=0\\y=0\end{cases}\\ \begin{cases} x=3\\y=4,5\end{cases} \\ A=\left[\begin{array}{cc}0&-6\\-6&4\end{array}\right] \\ \Delta _{1}=0\\ \Delta _{2}=36}\)
nieokreślone

\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}18&-6\\-6&4\end{array}\right]\\ \Delta _{1}=1\\ \Delta _{2}=36}\)
min. lokalne
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 17:40 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jedne tagi [latex] [/latex] na całe wyrażenie.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji - dobrze?

Post autor: Chromosom » 7 wrz 2011, o 20:10

Niemal do końca poprawnie. Nie wiem jakie znaczenie mają symbole \(\displaystyle{ \Delta_1,\ \Delta_2}\) występujące w obliczeniach związanych z hesjanem. Istnienie ekstremum stwierdza się na podstawie wyznacznika, natomiast jego typ (minimum bądź maksimum) na podstawie drugiej pochodnej cząstkowej \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}}\). Dokładne wyjaśnienie znajdziesz w podręczniku analizy matematycznej.

wojtek-igi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 7 wrz 2011, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: grudziadz

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji - dobrze?

Post autor: wojtek-igi » 8 wrz 2011, o 18:07

Witam mam problem z takim zadaniem
Prosze wyznaczyc ekstremum lokalne funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)=1+6x-x^2 -xy-y^2}\)
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2011, o 16:20 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji - dobrze?

Post autor: yorgin » 8 wrz 2011, o 18:12

Chromosom pisze:Niemal do końca poprawnie. Nie wiem jakie znaczenie mają symbole \(\displaystyle{ \Delta_1,\ \Delta_2}\) występujące w obliczeniach związanych z hesjanem. Istnienie ekstremum stwierdza się na podstawie wyznacznika, natomiast jego typ (minimum bądź maksimum) na podstawie drugiej pochodnej cząstkowej \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}}\). Dokładne wyjaśnienie znajdziesz w podręczniku analizy matematycznej.
Chodzi o kryterium Sylvestera określoności macierzy a tym samym określenia rodzaju ekstremum.
Wszystkie minory główne dodatnie dają minimum lokalne.
Na przemian ujemne i dodatnie określają maksimum.

ODPOWIEDZ