Matematyka.pl

Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze zrobiłem zadanie podane w temacie. Funkcja określona jest na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{D}=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 :x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0\}}\)

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x+\frac{y^2}{4x}+\frac{z^2}{y}+\frac{2}{z}}\)

1. Liczę pochodne cząstkowe funkcji

\(\displaystyle{ f'(x)=1- \frac{y^2}{4x^2} \\
f'(y)=\frac{y}{2x}-\frac{z^2}{y^2} \\
f'(z)=\frac{2z}{y}-\frac{2}{z^2}}\)

i następnie przyrównuje do \(\displaystyle{ 0}\) z czego mi wychodzi \(\displaystyle{ z=1 \vee z=-1; y=1 \vee y=-1; x=\frac{1}{2 }\vee x=-\frac{1}{2}}\)


Zgadza się i czy trzeba liczyć coś jeszcze?

podstawiam potem \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2},1,1 \right) =4}\) maksimum oraz \(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2},-1,-1 \right) =-4}\) minimum

podstawiam potem \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2},1,1 \right) =4}\) maksimum oraz \(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2},-1,-1 \right) =-4}\) minimum

Na podstawie czego dochodzisz do takich wniosków?

Dostajesz takie punkty z zerowymi pochodnymi:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},1,1\right),\left(-\frac{1}{2},1,1\right),\left(\frac{1}{2},-1,-1\right),\left(-\frac{1}{2},-1,-1\right)}\)

Przy Twoim zapisie wynikałoby, że np. \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},1,-1\right)}\) też pasuje, a tak nie jest.

Samo zerowanie się pochodnych nie wystarczy. Muszą jeszcze być spełnione dodatkowe warunki dla takich wyznaczników :

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}>0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}>0}\) - minumum

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}<0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}<0}\) - maksimum

Jeśli te wyznaczniki się zerują, to wtedy to kryterium nie rozstrzyga i trzeba inaczej sprawdzić, czy w tych punktach jest ekstremum.