Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Amrath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 21 lut 2011, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oborniki śląskie
Podziękował: 5 razy

Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji

Post autor: Amrath » 27 sie 2011, o 14:29

Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze zrobiłem zadanie podane w temacie. Funkcja określona jest na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{D}=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 :x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0\}}\)

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x+\frac{y^2}{4x}+\frac{z^2}{y}+\frac{2}{z}}\)

1. Liczę pochodne cząstkowe funkcji

\(\displaystyle{ f'(x)=1- \frac{y^2}{4x^2} \\ f'(y)=\frac{y}{2x}-\frac{z^2}{y^2} \\ f'(z)=\frac{2z}{y}-\frac{2}{z^2}}\)

i następnie przyrównuje do \(\displaystyle{ 0}\) z czego mi wychodzi \(\displaystyle{ z=1 \vee z=-1; y=1 \vee y=-1; x=\frac{1}{2 }\vee x=-\frac{1}{2}}\)


Zgadza się i czy trzeba liczyć coś jeszcze?

podstawiam potem \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2},1,1 \right) =4}\) maksimum oraz \(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2},-1,-1 \right) =-4}\) minimum
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 14:36 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji

Post autor: aalmond » 27 sie 2011, o 15:27

podstawiam potem \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2},1,1 \right) =4}\) maksimum oraz \(\displaystyle{ f \left( -\frac{1}{2},-1,-1 \right) =-4}\) minimum
Na podstawie czego dochodzisz do takich wniosków?

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Znależć wszystkie minima i maksima lokalne funkcji

Post autor: octahedron » 27 sie 2011, o 15:34

Dostajesz takie punkty z zerowymi pochodnymi:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},1,1\right),\left(-\frac{1}{2},1,1\right),\left(\frac{1}{2},-1,-1\right),\left(-\frac{1}{2},-1,-1\right)}\)

Przy Twoim zapisie wynikałoby, że np. \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},1,-1\right)}\) też pasuje, a tak nie jest.

Samo zerowanie się pochodnych nie wystarczy. Muszą jeszcze być spełnione dodatkowe warunki dla takich wyznaczników :

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}>0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}>0}\) - minumum

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}f_{xx}\end{vmatrix}<0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{vmatrix} >0,\ \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}&f_{xz}\\f_{yx}&f_{yy}&f_{yz}\\f_{zx}&f_{zy}&f_{zz}\end{vmatrix}<0}\) - maksimum

Jeśli te wyznaczniki się zerują, to wtedy to kryterium nie rozstrzyga i trzeba inaczej sprawdzić, czy w tych punktach jest ekstremum.

ODPOWIEDZ