Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x)=x ^{100}+ 2x ^{50}}\)

Mi wyszło że \(\displaystyle{ f^\prime(x)=0 \Leftrightarrow x=0}\)
a dla \(\displaystyle{ x = 0\quad f^{\prime\prime}(x)=0}\), czyli z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum wynika, że ekstremum lokalne właściwe nie istnieje.
Nie wiem czemu ale w odpowiedziach jest napisane że w punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\) jest minimum.
Kto ma rację, ja, czy książka?

Ta funkcja jest ściśle rosnąca, więc w zerze na pewno nie ma swojego maximum, tylko minimum. Dodatkowo wiemy, że ta funkcja jest n krotnie różniczkowalna..

\(\displaystyle{ f(x)=x ^{100}+ 2x ^{50}}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} \ f(x) \ge 0}\). A zatem, jeżeli istnieją punkty, w których ta funkcja się zeruje, to będą to minima globalne. Ale może istnieć conajwyżej tylko jeden taki punkt, bo funkcja jest ściśle rosnąca dla \(\displaystyle{ x>0}\) i ściśle malejąca dla \(\displaystyle{ x<0}\). Nietrudno zauważyć, że jest to \(\displaystyle{ x=0}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = + \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = + \infty}\). Stąd otrzymujemy w połączeniu ze ścisłą monotonicznością, że funkcja nie posiada maksimów.

a dla x = 0 f'(x)=0, czyli z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum wynika, że ekstremum lokalne właściwe nie istnieje.

No niestety, ale nie ma takiego warunku.

Znalazłem takie twierdzenie
dla n parzystego:
jeżeli
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) < 0}\)
to funkcja ma w punkcie\(\displaystyle{ x_{0}}\) minimum lokalne właściwe
a w przypadku gdy
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) > 0}\)
to funkcja ma w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)maksimum lokalne właściwe

\(\displaystyle{ x_{0}}\) to punkt w którym\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)

Dlatego pomyślałem, że nie ma ekstremum dla
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) = 0}\), co chyba zostało przeze mnie naciągnięte