Znajdź ekstrema

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
diego_maradona
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 80 razy

Znajdź ekstrema

Post autor: diego_maradona » 12 sie 2011, o 02:24

\(\displaystyle{ f(x)=x ^{100}+ 2x ^{50}}\)

Mi wyszło że \(\displaystyle{ f^\prime(x)=0 \Leftrightarrow x=0}\)
a dla \(\displaystyle{ x = 0\quad f^{\prime\prime}(x)=0}\), czyli z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum wynika, że ekstremum lokalne właściwe nie istnieje.
Nie wiem czemu ale w odpowiedziach jest napisane że w punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\) jest minimum.
Kto ma rację, ja, czy książka?
Ostatnio zmieniony 13 sie 2011, o 22:05 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: klamry [latex][/latex]

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Znajdź ekstrema

Post autor: Quaerens » 12 sie 2011, o 08:22

Ta funkcja jest ściśle rosnąca, więc w zerze na pewno nie ma swojego maximum, tylko minimum. Dodatkowo wiemy, że ta funkcja jest n krotnie różniczkowalna..

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Znajdź ekstrema

Post autor: bartek118 » 12 sie 2011, o 09:51

\(\displaystyle{ f(x)=x ^{100}+ 2x ^{50}}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} \ f(x) \ge 0}\). A zatem, jeżeli istnieją punkty, w których ta funkcja się zeruje, to będą to minima globalne. Ale może istnieć conajwyżej tylko jeden taki punkt, bo funkcja jest ściśle rosnąca dla \(\displaystyle{ x>0}\) i ściśle malejąca dla \(\displaystyle{ x<0}\). Nietrudno zauważyć, że jest to \(\displaystyle{ x=0}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = + \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = + \infty}\). Stąd otrzymujemy w połączeniu ze ścisłą monotonicznością, że funkcja nie posiada maksimów.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Znajdź ekstrema

Post autor: Lorek » 12 sie 2011, o 19:03

a dla x = 0 f'(x)=0, czyli z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum wynika, że ekstremum lokalne właściwe nie istnieje.
No niestety, ale nie ma takiego warunku.

diego_maradona
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 80 razy

Znajdź ekstrema

Post autor: diego_maradona » 13 sie 2011, o 16:55

Znalazłem takie twierdzenie
dla n parzystego:
jeżeli
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) < 0}\)
to funkcja ma w punkcie\(\displaystyle{ x_{0}}\) minimum lokalne właściwe
a w przypadku gdy
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) > 0}\)
to funkcja ma w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)maksimum lokalne właściwe

\(\displaystyle{ x_{0}}\) to punkt w którym\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)

Dlatego pomyślałem, że nie ma ekstremum dla
\(\displaystyle{ f ^{(n)} (x _{0} ) = 0}\), co chyba zostało przeze mnie naciągnięte

ODPOWIEDZ