Strona 1 z 1
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 19:24
autor: apriliasr
Witam proszę o dokończenie takiego zadania . Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right) =2\arctan x + \arcsin \frac{2x}{1 + x^{2} }}\) jest stała w przedziale \(\displaystyle{ xin left[ 1,+ infty
ight)}\) . Wyznaczyć tę stałą
\(\displaystyle{ f^\prime \left( x \right) = \frac{2}{1 + x^{2} } + \frac{1}{ \sqrt{1- \left( \frac{2x}{1 + x^{2} } \right) ^{2} } } \cdot \frac{2- 2x^{2} }{ \left( 1 + x^{2} \right) ^{2} }}\) i nie wiem jak dalej ?
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 19:28
autor: aalmond
Sprowadź wyrażenie pod pierwiastkiem do wspólnego mianownika.
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 19:28
autor: Funktor
Skoro jest stała to pochodna powinna być tożsamościowo równa zero --> trochę rachunków. Aby znaleźć tą stałą wystarczy wstawić jakiś wygodny argument z tego przedziału
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 19:40
autor: apriliasr
tylko właśnie mam problem z tymi rachunkami , nie chce mi się wyzerować
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 19:46
autor: Funktor
No to sprawdzimy, może pochodna jest źle...-- 8 lip 2011, o 19:48 --Pochodna jest ok, więc kombinuję dalej ;]
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 19:56
autor: Chromosom
apriliasr, zamieść swoje obliczenia
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 20:18
autor: aalmond
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{2x}{1 + x^{2} })^{2} } }=\frac{1}{ \sqrt{1- \frac{4 x^{2} }{1 + 2x^{2}+ x^{4} } } }=\frac{1}{ \sqrt{\frac{1 - 2x^{2}+ x^{4} }{1 + 2x^{2}+ x^{4} } } }= \frac{1+ x^{2} }{x^{2} -1}}\)
udowodnić, że funkcja jest stała
: 8 lip 2011, o 20:21
autor: Chromosom
pamiętaj jeszcze o tym że \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\), uprość teraz ułamek
udowodnić, że funkcja jest stała
: 10 lip 2011, o 23:54
autor: Inkwizytor
aalmond pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{2x}{1 + x^{2} })^{2} } }=...}\)
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}}}{{1 + x^{2} }} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} }=}\) w mianowniku róznica kwadratów
udowodnić, że funkcja jest stała
: 11 lip 2011, o 00:33
autor: aalmond
Inkwizytor pisze:aalmond pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{2x}{1 + x^{2} })^{2} } }=...}\)
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}}}{{1 + x^{2} }} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} }=}\) w mianowniku róznica kwadratów
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}}}{{1 + x^{2} }} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + 2 \cdot x^{2 } + x^{4}-4 \cdot x^{2} } }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 - 2 \cdot x^{2 } + x^{4} } }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(x^{2}-1) ^{2} }}}\)
... raczej kwadrat różnicy
udowodnić, że funkcja jest stała
: 11 lip 2011, o 07:46
autor: Inkwizytor
aalmond pisze:... raczej kwadrat różnicy
Przecież to to samo
\(\displaystyle{ (1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} = (1-2x+x^2)(1+2x+x^2)=(x-1)^2(x+1)^2=[(x-1)(x+1)]^2}\)
udowodnić, że funkcja jest stała
: 11 lip 2011, o 09:19
autor: aalmond
Inkwizytor pisze:aalmond pisze:... raczej kwadrat różnicy
Przecież to to samo
\(\displaystyle{ (1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} = (1-2x+x^2)(1+2x+x^2)=(x-1)^2(x+1)^2=[(x-1)(x+1)]^2}\)
No właśnie.