udowodnić, że funkcja jest stała

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
apriliasr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 lis 2010, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: apriliasr » 8 lip 2011, o 19:24

Witam proszę o dokończenie takiego zadania . Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right) =2\arctan x + \arcsin \frac{2x}{1 + x^{2} }}\) jest stała w przedziale \(\displaystyle{ xin left[ 1,+ infty
ight)}\)
. Wyznaczyć tę stałą

\(\displaystyle{ f^\prime \left( x \right) = \frac{2}{1 + x^{2} } + \frac{1}{ \sqrt{1- \left( \frac{2x}{1 + x^{2} } \right) ^{2} } } \cdot \frac{2- 2x^{2} }{ \left( 1 + x^{2} \right) ^{2} }}\) i nie wiem jak dalej ?
Ostatnio zmieniony 8 lip 2011, o 19:46 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a, symbol mnożenia to \cdot, poprawa nazwy tematu i ortografii

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: aalmond » 8 lip 2011, o 19:28

Sprowadź wyrażenie pod pierwiastkiem do wspólnego mianownika.

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: Funktor » 8 lip 2011, o 19:28

Skoro jest stała to pochodna powinna być tożsamościowo równa zero --> trochę rachunków. Aby znaleźć tą stałą wystarczy wstawić jakiś wygodny argument z tego przedziału

apriliasr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 lis 2010, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: apriliasr » 8 lip 2011, o 19:40

tylko właśnie mam problem z tymi rachunkami , nie chce mi się wyzerować

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: Funktor » 8 lip 2011, o 19:46

No to sprawdzimy, może pochodna jest źle...-- 8 lip 2011, o 19:48 --Pochodna jest ok, więc kombinuję dalej ;]

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: Chromosom » 8 lip 2011, o 19:56

apriliasr, zamieść swoje obliczenia

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: aalmond » 8 lip 2011, o 20:18

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{2x}{1 + x^{2} })^{2} } }=\frac{1}{ \sqrt{1- \frac{4 x^{2} }{1 + 2x^{2}+ x^{4} } } }=\frac{1}{ \sqrt{\frac{1 - 2x^{2}+ x^{4} }{1 + 2x^{2}+ x^{4} } } }= \frac{1+ x^{2} }{x^{2} -1}}\)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: Chromosom » 8 lip 2011, o 20:21

pamiętaj jeszcze o tym że \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\), uprość teraz ułamek

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: Inkwizytor » 10 lip 2011, o 23:54

aalmond pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{2x}{1 + x^{2} })^{2} } }=...}\)
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}}}{{1 + x^{2} }} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} }=}\) w mianowniku róznica kwadratów

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: aalmond » 11 lip 2011, o 00:33

Inkwizytor pisze:
aalmond pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1- (\frac{2x}{1 + x^{2} })^{2} } }=...}\)
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}}}{{1 + x^{2} }} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} }=}\) w mianowniku róznica kwadratów
\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\frac{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}}}{{1 + x^{2} }} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 + 2 \cdot x^{2 } + x^{4}-4 \cdot x^{2} } }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{1 - 2 \cdot x^{2 } + x^{4} } }=\frac{1 + x^{2}}{\sqrt{(x^{2}-1) ^{2} }}}\)

... raczej kwadrat różnicy

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: Inkwizytor » 11 lip 2011, o 07:46

aalmond pisze:... raczej kwadrat różnicy
Przecież to to samo

\(\displaystyle{ (1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} = (1-2x+x^2)(1+2x+x^2)=(x-1)^2(x+1)^2=[(x-1)(x+1)]^2}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

udowodnić, że funkcja jest stała

Post autor: aalmond » 11 lip 2011, o 09:19

Inkwizytor pisze:
aalmond pisze:... raczej kwadrat różnicy
Przecież to to samo

\(\displaystyle{ (1 + x^{2} )^2 - ({2x})^{2}} = (1-2x+x^2)(1+2x+x^2)=(x-1)^2(x+1)^2=[(x-1)(x+1)]^2}\)
No właśnie.

ODPOWIEDZ