Matematyka.pl

Witam, mam problem z takim przykładem.

Trzeba obliczyć 10 pochodną z tej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = x^5 \cdot e^{-x}}\)

Ręcznie to byłaby katorga, domyślam się, że trzeba znaleźć jakieś analogie i wymyślić wzór na pochodną n rzędu.

\(\displaystyle{ f'(x)= 5x^4\cdot e^{-x}+ x^5 \cdot e^{-x} \cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = 5 \cdot 4x^3 \cdot e^{-x}+ 5x^4 \cdot e^{-x} \cdot (-1)+5x^4 \cdot e^{-x}+x^5 \cdot e^{-x} \cdot (-1)}\)

To 2 pochodne, chyba się nigdzie nie 'machnąłem'.
Potrzebuję jakichś wskazówek jak to dalej rozpracować.

Pozdrawiam.

Uporządkuj je najpierw.

Uporządkuj?
Chyba lepiej zostawić niewymnożone współczynniki przy x, wywaliłem to co niepotrzebne.

Jest takie coś:
\(\displaystyle{ f''(x) = 5 \cdot 4x^3 \cdot e^{-x} - x^5 \cdot e^{-x} \cdot 1}\)

Wzór Leibnitza:

\(\displaystyle{ \left( f\cdot g\right)^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\\
f(x)=x^5\\
f'(x)=5x^4\\
f''(x)=20x^3\\
f^{(3)}(x)=60x^2\\
f^{(4)}(x)=120x\\
f^{(5)}(x)=120\\
f^{(6)}(x)=f^{(7)}(x)=...=f^{(10)}(x)=0\\
g(x)=e^{-x}\\
g'(x)=-e^{-x}=-g(x)\\
g''(x)=g(x)\ itd.\\
g^{(n-k)}(x)=(-1)^{n-k}e^{-x}\\
\left( x^5 \cdot e^{-x}\right)^{(10)}= {10 \choose 0} x^5e^{-x}-{10 \choose 1}5x^4e^{-x}+{10 \choose 2}20x^3e^{-x}-{10 \choose 3}60x^2e^{-x}+{10 \choose 4}120xe^{-x}-{10 \choose 5}120e^{-x}=\\=x^5e^{-x}-50x^4e^{-x}+900x^3e^{-x}-7200x^2e^{-x}+25200xe^{-x}-30240e^{-x}\\}\)