Pochodne wyższych rzędów

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
marvell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 17 lut 2009, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy

Pochodne wyższych rzędów

Post autor: marvell » 29 cze 2011, o 18:49

Witam, mam problem z takim przykładem.

Trzeba obliczyć 10 pochodną z tej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = x^5 \cdot e^{-x}}\)

Ręcznie to byłaby katorga, domyślam się, że trzeba znaleźć jakieś analogie i wymyślić wzór na pochodną n rzędu.

\(\displaystyle{ f'(x)= 5x^4\cdot e^{-x}+ x^5 \cdot e^{-x} \cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = 5 \cdot 4x^3 \cdot e^{-x}+ 5x^4 \cdot e^{-x} \cdot (-1)+5x^4 \cdot e^{-x}+x^5 \cdot e^{-x} \cdot (-1)}\)

To 2 pochodne, chyba się nigdzie nie 'machnąłem'.
Potrzebuję jakichś wskazówek jak to dalej rozpracować.

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 29 cze 2011, o 18:50 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Znak mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Pochodne wyższych rzędów

Post autor: Althorion » 29 cze 2011, o 18:52

Uporządkuj je najpierw.

marvell
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 17 lut 2009, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy

Pochodne wyższych rzędów

Post autor: marvell » 29 cze 2011, o 18:59

Uporządkuj?
Chyba lepiej zostawić niewymnożone współczynniki przy x, wywaliłem to co niepotrzebne.

Jest takie coś:
\(\displaystyle{ f''(x) = 5 \cdot 4x^3 \cdot e^{-x} - x^5 \cdot e^{-x} \cdot 1}\)

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Pochodne wyższych rzędów

Post autor: octahedron » 29 cze 2011, o 19:16

Wzór Leibnitza:

\(\displaystyle{ \left( f\cdot g\right)^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}\\
f(x)=x^5\\
f'(x)=5x^4\\
f''(x)=20x^3\\
f^{(3)}(x)=60x^2\\
f^{(4)}(x)=120x\\
f^{(5)}(x)=120\\
f^{(6)}(x)=f^{(7)}(x)=...=f^{(10)}(x)=0\\
g(x)=e^{-x}\\
g'(x)=-e^{-x}=-g(x)\\
g''(x)=g(x)\ itd.\\
g^{(n-k)}(x)=(-1)^{n-k}e^{-x}\\
\left( x^5 \cdot e^{-x}\right)^{(10)}= {10 \choose 0} x^5e^{-x}-{10 \choose 1}5x^4e^{-x}+{10 \choose 2}20x^3e^{-x}-{10 \choose 3}60x^2e^{-x}+{10 \choose 4}120xe^{-x}-{10 \choose 5}120e^{-x}=\\=x^5e^{-x}-50x^4e^{-x}+900x^3e^{-x}-7200x^2e^{-x}+25200xe^{-x}-30240e^{-x}\\}\)

ODPOWIEDZ