Matematyka.pl

Mam pytanie natury bardzo formalnej. Co możemy powiedzieć o monotoniczności ciągu jednowyrazowego? Jest on stały, rosnący, malejący? Głównie chodzi mi o to czy można powiedzieć: dany ciąg jednowyrazowy jest malejący? Dla mnie to jest bez sensu i nie można tak powiedzieć, nie jest on monotoniczny.. Czy dobrze myślę?

Teraz słowo wyjaśnienia. Stworzyłem zadanie w którym trzeba napisać program znajdujący długość najdłuższego niekoniecznie spójnego i malejącego ciągu w danym ciągu. I czy gdy program oblicza że długość ta wynosi jeden (ciąg jednowyrazowy), to możemy tak odpowiedzieć, czy poprawnie by było, że nie ma takiego?

Według mnie ciąg jednowyrazowy nie może być ani malejący ani rosnący ani stały. To tak jakby powiedzieć że jeden punkt w ukł. współrzednych jest np. malejący.

Ustalmy ciąg skończony \(\displaystyle{ \left( a_n\right)}\) o długości \(\displaystyle{ k}\). \(\displaystyle{ P=\left\{ 1,2, \ldots, k\right\}}\)

Ciąg \(\displaystyle{ \left( a_n\right)}\) jest malejący jeśli:

\(\displaystyle{ \forall n \in P \setminus \left\{k \right\} \quad a_{n+1}<a_n}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ P=\left\{ 1\right\}}\), to nie ma mowy o czymś takim jak \(\displaystyle{ a_{n+1}}\), więc definicja ciągu malejącego nie jest spełniona

Ciąg jednowyrazowy to po prostu punkt (na wykresie) wiec cieżko określić jego monotonicznosć. (o ile sie w ogole da)

Majeskas, miałem nadzieję na taką odpowiedź

Majeskas pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ P=\left\{ 1\right\}}\), to nie ma mowy o czymś takim jak \(\displaystyle{ a_{n+1}}\), więc definicja ciągu malejącego nie jest spełniona

Otóż jest.
Zdanie \(\displaystyle{ \forall n\in\emptyset \ \Phi (n)}\) jest prawdziwe dla dowolnej formuły \(\displaystyle{ \Phi (n)}\).
Wszystkie elementy zbioru pustego mają dowolną własność, bo nie ma w tym zbiorze takiego elementu, który by nie miał dowolnej własności.

Jeśli więc przyjmujemy taką definicję jak podałeś (skądinąd bardzo naturalną), to ciąg jednowyrazowy jest jednocześnie malejący, stały i rosnący.

Q.

Ech. No właśnie miałem tę wątpliwość. Dobrze, że zwróciłeś uwagę. Czy można w takim razie sformułować jakąś lepszą, która by czegoś takiego nie dopuściła?

Moim zdaniem to bardzo dobra definicja.

To, że ciąg jednoelementowy jest jednocześnie rosnący i malejący - wydaje się być bardzo zgodne z intuicją.

Q.

a więc jednak :/.. no nic, dziękuję że pociągnęliście tą dyskusję do końca, bo to było dla mnie ważne