Matematyka.pl

1. Podaj z uzasadnieniem swój ulubiony przykład złożenia nakryć, które nie jest nakryciem.

2. Niech \(\displaystyle{ E,X,Z}\) będą przestrzeniami topologicznymi, niech \(\displaystyle{ p:E\to X}\) będzie nakryciem.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ X^{Z}}\) przestrzeń odwzorowań ciągłych \(\displaystyle{ Z\to X}\) z topologią zwarto-otwartą.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ Z}\) jest jednospójna oraz lokalnie łukowo spójna.
Ustalmy \(\displaystyle{ z_{0}\in Z}\).
Wiadomo, że wówczas dla dowolnego \(\displaystyle{ x_{0}\in X}\) oraz \(\displaystyle{ e_{0}\in p^{-1}(\{x_{0}\})}\) każde odwzorowanie \(\displaystyle{ u\in X^{Z}}\) spełniające \(\displaystyle{ u(z_{0}) = x_{0}}\) podnosi się jednoznacznie względem \(\displaystyle{ p}\) do takiego odwzorowania \(\displaystyle{ v = \Psi_{z_{0},e_{0}}(u)\in E^{Z},}\) że \(\displaystyle{ v(z_{0}) = e_{0}}\)
(\(\displaystyle{ u}\) podnosi się względem \(\displaystyle{ p}\) do \(\displaystyle{ v}\) - to znaczy, że \(\displaystyle{ p\circ v = u}\)).
Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ Z}\) jest dodatkowo lokalnie zwarta (Hausdorffa), to dla dowolnej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ Y}\) oraz odwzorowań ciągłych \(\displaystyle{ a:Y\to X^{Z}, \ b:Y\to E}\) spełniających \(\displaystyle{ a(y)(z_{0}) = b(y), \ y\in Y}\) mamy ciągłość odwzorowania podniesienia:
\(\displaystyle{ h:Y\ni y\mapsto \Psi_{z_{0},b(y)}(a(y))\in E^{Z}.}\)

Czy założenie o lokalnej zwartości można osłabić?

1. Szukamy nakryć \(\displaystyle{ p:A\to B}\) oraz \(\displaystyle{ q:B\to C}\) takich, że \(\displaystyle{ q\circ p:A\to C}\) nie jest nakryciem.

Dobre.
Pewnie o to chodziło Hatcherowi, kiedy we wskazówce do takiego ćwiczenia w swojej książce umieścił 'rysunek' przestrzeni \(\displaystyle{ B}\).
Dzięki.

-- 8 marca 2011, 00:28 --

Podana wyżej intuicja powinna być niezawodna, tzn jeśli \(\displaystyle{ C}\) posiada nakrycie uniwersalne, to złożenie nakryć \(\displaystyle{ p:A\to B, \ q:B\to C}\) jest zawsze nakryciem \(\displaystyle{ A\to C}\).

W dużym skrócie:

Dla nakryć spójnych wynika to z twierdzeń klasyfikujących, które ustalają odpowiedniości między takimi nakryciami, a podgrupami grupy fundamentalnej nakrywanej przestrzeni.

W ogólności sprowadzamy problem do nakryć spójnych.

Przydają się dwa fakty:

i. Jeśli \(\displaystyle{ g:F\to X}\) nakrycie, \(\displaystyle{ f:E\to F}\) surjekcja ciągła taka, że \(\displaystyle{ g\circ f}\) nakrycie oraz \(\displaystyle{ X}\) jest lokalnie spójna, to \(\displaystyle{ f}\) jest nakryciem.

ii. Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma nakrycie uniwersalne (czyli spójna, lokalnie drogowo spójna i półlokalnie jednospójna), \(\displaystyle{ g:E\to F}\) surjekcja ciągła, \(\displaystyle{ f:F\to X}\) nakrycie, takie, że \(\displaystyle{ g\circ f: E\to X}\) nakrycie uniwersalne, to dwa różne płaty w \(\displaystyle{ E}\) nad otoczeniem prawidłowo nakrytym względem \(\displaystyle{ g\circ f}\) przechodzą przez \(\displaystyle{ f}\) na zbiory rozłączne. (w zasadzie to jest kawałek dowodu wspomnianego twierdzenia klasyfikującego, plus fakt, że \(\displaystyle{ F}\) możemy zapisać jako iloraz \(\displaystyle{ E}\) względem całkowicie dyskretnego działania pewnej grupy na tej przestrzeni).

Mając te dwa fakty, argument polega na:
-podniesieniu względem \(\displaystyle{ q}\) zawężonego do składowej spójnej \(\displaystyle{ B}\) nakrycia uniwersalnego \(\displaystyle{ C}\) do nakrycia (uniwersalnego) tejże składowej \(\displaystyle{ B}\), które następnie podnosimy analogicznie do nakrycia składowej \(\displaystyle{ A}\);
w ten sposób sklejając uzyskane odwzorowania otrzymujemy z i. nakrycia \(\displaystyle{ A,B,C}\) sumą rozłączną odpowiednio wielu kopii \(\displaystyle{ E}\), przy czym możemy zażądać, by obrazy dwóch różnych kopii \(\displaystyle{ E}\) w \(\displaystyle{ A}\) były rozłączne;
-wywnioskowaniu z ii. i rozłączności obrazów różnych kopii \(\displaystyle{ E}\) w \(\displaystyle{ A}\) że \(\displaystyle{ q\circ p}\) jest nakryciem.