Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ Y}\) - oznacza przestrzeń metryczną wszystkich ciągów ograniczonych, o wyrazach rzeczywistych.
\(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią metryczną z metryką \(\displaystyle{ d}\) zdefiniowaną jako \(\displaystyle{ x=\{a _{i}\} \subset Y , y=\{b _{i}\} \subset Y}\)
\(\displaystyle{ d(x,y)= sup \left|a _{i}- b_{i} \right| = sup \{ \left|a _{1}-b _{1} \right| , \left|a _{2}-b _{2} \right|...\}}\)

Niech\(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją określoną na przedziale \(\displaystyle{ f:[0,1] \rightarrow Y}\) zdefiniowaną jako \(\displaystyle{ f(x)= \{x,x ^{2},x ^{3},...\}}\)

np. dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) obrazem jest ciąg \(\displaystyle{ f( \frac{1}{2} )= \{ \frac{1}{2} , \frac{1}{4}, \frac{1}{8}...\}}\)

Zbadać ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Dla jakich \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\)funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła?

Dla \(\displaystyle{ x \neq 1}\)