Wykazać, że funkcja f jest funkcją ciągłą, gdy...

Biala-Flaga · Post autor: **Biala-Flaga** » 31 gru 2013, o 19:04

Witajcie,
Już 2 razy już skorzystałem z Waszej pomocy, za co jestem bardzo wdzięczny. Niestety, ale kolejny raz będę prosił o pomoc. Tym razem z topologii.
Mam takie oto zadanie:
Niech funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x+y}\). Wykazać, że funkcja f jest funkcją ciągłą gdy na płaszczyźnie euklidesowej rozważamy metrykę euklidesową lub maksimum.

Z góry dzięki za pomoc
i szczęśliwego Nowego Roku!

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 31 gru 2013, o 19:10

Tutaj nie ma żadnego znaczenia, która to będzie metryka, bo obie pochodzą od norm, a w \(\displaystyle{ \RR^n}\) wszystkie normy są równoważne. W ten sposób można sprowadzić sprawę do metryki taksówkowej (też pochodzącej od normy), w której rzecz jest bardziej niż trywialna: jeśli \(\displaystyle{ (x_n,y_n)\to(x,y)}\), to \(\displaystyle{ x_n\to x}\) oraz \(\displaystyle{ y_n\to y}\). Teraz \(\displaystyle{ x_n+y_n\to x+y}\) z własności granic ciągów liczbowych.

Zbieżność po współrzędnych (w argumencie), na którą się powołuję, łatwo zresztą wykazać w każdej metryce. Ten fragment zależy od metryki w dziedzinie. Dalej standard.

Tobie też wszystkiego dobrego w Nowym Roku.

Biala-Flaga · Post autor: **Biala-Flaga** » 31 gru 2013, o 19:15

Serdecznie dziękuję za odpowiedź i to taką szybką!