Twierdzenie 1. Niech \(\displaystyle{ J}\) będzie krzywą zamkniętą (homeomorficznym obrazem okręgu) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\), a \(\displaystyle{ D}\) jednym z obszarów, na jakie ta krzywa rozcina płaszczyznę (czyli składową dopełnienia \(\displaystyle{ J}\)). Wówczas dla każdego punktu \(\displaystyle{ x\in J}\) oraz jego otoczenia otwartego \(\displaystyle{ U\ni x}\) istnieją zbiory otwarte \(\displaystyle{ V}\) oraz \(\displaystyle{ W}\) takie, że \(\displaystyle{ x\in V}\), \(\displaystyle{ W\subseteq D\cap U}\), \(\displaystyle{ J\cap V\subseteq \partial W}\) oraz \(\displaystyle{ W}\) jest spójny.
Twierdzenie 2. Niech \(\displaystyle{ J}\) będzie krzywą zamkniętą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb R^2}\), a \(\displaystyle{ D}\) jednym z obszarów, na jakie ta krzywa rozcina płaszczyznę. Wówczas dla każdego punktu \(\displaystyle{ x\in J}\) oraz jego otoczenia otwartego \(\displaystyle{ U\ni x}\) istnieje łuk \(\displaystyle{ L}\) o końcach \(\displaystyle{ a,b\in J}\) zawarty, nie licząc końców, w zbiorze \(\displaystyle{ D\cap U}\) i taki, że łuk o końcach \(\displaystyle{ a,b}\) zawarty w \(\displaystyle{ J}\) zawierający \(\displaystyle{ x}\) jest zawarty w \(\displaystyle{ U}\).
Czy ktoś umiałby udowodnić twierdzenie 1 lub 2 bez korzystania z twierdzenia Schoenfliesa?