Matematyka.pl

Mam takie zadanie, aby udowodnić, że \(\displaystyle{ X/Y}\) z topologią ilorazową jest liniowotopologiczna, Czy założenie, że X-domknięte jest tutaj potrzebne?

Z góry bardzo dziękuję za pomoc.

agusiaczarna22 pisze: Czy założenie, że X-domknięte jest tutaj potrzebne?

Nie chodziło Ci przypadkiem o \(\displaystyle{ Y}\)-domknięte?

W ogólności tak chyba być nie musi, natomiast istnieje twierdzenie które mówi: Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią liniowo topologiczną, \(\displaystyle{ N}\) liniową podprzestrzenią \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ X / N}\) jest liniowo topologiczna z topologią ilorazową, wtedy \(\displaystyle{ N}\)-domknięte \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy \(\displaystyle{ X / N}\) jest Hausdorffa (czyli jest \(\displaystyle{ T_2}\)), ( - propozycja 2.3.5).

W przestrzeniach liniowo topologicznych nie trzeba zakładać, że są \(\displaystyle{ T_2}\), nie trzeba zakładać nawet, że są \(\displaystyle{ T_1}\), ale zazwyczaj się to przyjmuje, gdyż w praktyce "porządne" przestrzenie zazwyczaj mają własność \(\displaystyle{ T_2}\) lub przynajmniej \(\displaystyle{ T_1}\).

Nie, nie tu chodzi o X-domknięte.

Co to znaczy, że \(\displaystyle{ X}\) jest domknięta? Każda przestrzeń topologiczna jest domknięta. Zakładasz, że \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią liniowo-topologiczną oraz \(\displaystyle{ Y}\) jej podprzestrzenią liniową (skoro mowa o przestrzeni ilorazowej). Chcesz, by \(\displaystyle{ X/Y}\) wraz z topologią ilorazową była liniowo-topologiczna. Jedyny dowód jaki znam (z Rudina) korzysta z domkniętości podprzestrzeni \(\displaystyle{ Y}\) i nie wydaje mi się, by było to pomijalne założenie.

Żeby była jakakolwiek kwestia domkniętości \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ X}\) musi być podprzestrzenią topologiczną jakiejś większej przestrzeni, jednak nic takiego nie zawarłaś w swoim poście.

W Rudinie przy definicji przestrzeni liniowo-topologicznej jest warunek (przez niektórych pomijany), że przestrzeń ma być \(\displaystyle{ T_1}\), a następnie jest pokazane, że jesli jest ona \(\displaystyle{ T_1}\) to automatycznie jest Hausdorffa (\(\displaystyle{ T_2}\)), a nawet Tichonowa (\(\displaystyle{ T_{3\frac{1}{2}}}\)). Wydaje mi się że z tego powodu w Rudinie podprzestrzeń jest domknięta (bo z definicji \(\displaystyle{ X}\) ma być Hausdorffa, co wiąże fakt o którym pisałem wczesniej).

To tak jako komentarz. Natomiast zgadzam sie z Dualny91, że zdecydowanie nie chodzi o domkniętość \(\displaystyle{ X}\).

Mam takie samo zadanie i mam problem, czy mógłby mi ktoś pomóc przetłumaczyć tą pozycje 2.3.5 ?

,the image under \(\displaystyle{ \phi}\) of the complement of M co to oznacza?

Obraz przez \(\displaystyle{ \phi}\) dopełnienia [zbioru] \(\displaystyle{ M}\).

JK

a ,,the intersection of all neighbourhoods of the origin o is just {o}. ' co oznacza?

Przekrój wszystkich otwartych otoczeń początku układu współrzędnych \(\displaystyle{ 0}\) jest równy \(\displaystyle{ \{ 0 \}}\).

A czy to zadanie można jeszcze jakość w inny sposób rozwiązać?-- 25 sty 2017, o 19:55 --A mam pytanie czy da radę rozwiązać to zadanie przy pomocy takiej definicji?:
Przestrzeń liniową X nad ciałem K i jednocześnie topologią, w której punkty są zbiorami domkniętymi ( Topologia \(\displaystyle{ T_1}\)) nazwiemy liniowo-topologiczną, jeśli dodawania i mnożenie są działaniami ciągłymi, tzn. odwzorowania:
\(\displaystyle{ +: X \times X\rightarrow X}\) oraz \(\displaystyle{ \cdot : K \times X\rightarrow X}\) są ciągłe, gdzie w \(\displaystyle{ X \times X}\) oraz \(\displaystyle{ K \times X}\) bierzemy topologie produktowe.