Matematyka.pl

Mamy nieskończony zbiór \(\displaystyle{ X}\). Czy może ktoś mi wytłumaczyć o co chodzi z topologią dopełnień skończonych w kontekście przestrzeni \(\displaystyle{ T_1}\) oraz regularnej?? Ponieważ moim zdaniem jeżeli wybierzemy podzbiór skończony, to różnica nieskończonego ze skończonym da nieskończony a to już chyba samo w sobie jest dopełnieniem... Chyba, że coś źle rozumiem. Nie wspominając o tym, że nieskończony odjąć nieskończony na pewno da nieskończony. Chodzi głównie o zrozumienie idei topologii dopełnień skończonych, bo warunek na \(\displaystyle{ T_1}\) to wiem, że każdy zbiór \(\displaystyle{ \{x\}, x \in X}\) musi być domknięty czyli mieć dopełnienie otwarte. Warunek na regularność też znam.

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 16:40Ponieważ moim zdaniem jeżeli wybierzemy podzbiór skończony, to różnica nieskończonego ze skończonym da nieskończony a to już chyba samo w sobie jest dopełnieniem... Chyba, że coś źle rozumiem.

No ja nie rozumiem, co ma znaczyć powyższe zdanie.

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 16:40Nie wspominając o tym, że nieskończony odjąć nieskończony na pewno da nieskończony.

Serio?

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 16:40Chodzi głównie o zrozumienie idei topologii dopełnień skończonych,

Otwarte są zbiory o skończonych dopełnieniach (i zbiór pusty). Co masz na myśli pisząc o "idei topologii"?

Jeżeli chcesz dostać pomoc, to proponuję staranniej formułować pytania.

JK

Jan Kraszewski pisze: 26 paź 2024, o 17:31

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 16:40Ponieważ moim zdaniem jeżeli wybierzemy podzbiór skończony, to różnica nieskończonego ze skończonym da nieskończony a to już chyba samo w sobie jest dopełnieniem... Chyba, że coś źle rozumiem.

No ja nie rozumiem, co ma znaczyć powyższe zdanie.

No dajmy na to, że \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\). Podzbiorem skończonym może być np. \(\displaystyle{ U=\{0,1\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ X \setminus U = \mathbb{R} \setminus \{0,1\}}\), czyli zbiór nieskończony. I to moim zdaniem już samo w sobie jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ U}\).

Jan Kraszewski pisze: 26 paź 2024, o 17:31

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 16:40Nie wspominając o tym, że nieskończony odjąć nieskończony na pewno da nieskończony.

Serio?

No tak, weźmy np. \(\displaystyle{ U = \mathbb{N}}\). Wówczas \(\displaystyle{ X \setminus U = \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} = (-\infty, 0)}\), czyli zbiór nieskończony. I według mnie to również samo w sobie jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ U}\).

A ani to, ani powyższe nie są skończone.

Jan Kraszewski pisze: 26 paź 2024, o 17:31

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 16:40Chodzi głównie o zrozumienie idei topologii dopełnień skończonych,

Otwarte są zbiory o skończonych dopełnieniach (i zbiór pusty). Co masz na myśli pisząc o "idei topologii"?

Chodzi po prostu o zrozumienie topologii dopełnień skończonych w celu udowodnienia faktu, że każdy zbiór \(\displaystyle{ \{x\}}\) jest domknięty, co jest równoważne temu, że jego dopełnienie jest otwarte.

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 21:30No dajmy na to, że \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\). Podzbiorem skończonym może być np. \(\displaystyle{ U=\{0,1\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ X \setminus U = \mathbb{R} \setminus \{0,1\}}\), czyli zbiór nieskończony. I to moim zdaniem już samo w sobie jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ U}\).

Co to znaczy "samo w sobie jest dopełnieniem zbioru \(\displaystyle{ U}\)"? I co to ma w ogóle wspólnego z topologią dopełnień skończonych?!

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 21:30 No tak, weźmy np. \(\displaystyle{ U = \mathbb{N}}\). Wówczas \(\displaystyle{ X \setminus U = \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} = (-\infty, 0)}\), czyli zbiór nieskończony.

To, że dopełnienie jakiegoś zbioru nieskończonego jest nieskończone nie uprawnia Cię do wygłaszania stwierdzeń ogólnych w stylu "nieskończony odjąć nieskończony na pewno da nieskończony". Różnica zbiorów nieskończonych może być zarówno skończona, jak i nieskończona.

Oczywiście warto pamiętać, że równość \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} = (-\infty, 0)}\) jest dramatycznie nieprawdziwa...

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 21:30A ani to, ani powyższe nie są skończone.

No i co z tego? I to samo pytanie: co to ma wspólnego z topologią dopełnień skończonych?

krasnoludek10 pisze: 26 paź 2024, o 21:30Chodzi po prostu o zrozumienie topologii dopełnień skończonych w celu udowodnienia faktu, że każdy zbiór \(\displaystyle{ \{x\}}\) jest domknięty, co jest równoważne temu, że jego dopełnienie jest otwarte.

To, że w topologii dopełnień skończonych zbiór \(\displaystyle{ \{x\}}\) jest domknięty jest trywialne: jego dopełnieniem jest zbiór \(\displaystyle{ X \setminus \{x\}}\), który jest otwarty (czyli należy do topologii), bo jego dopełnienie \(\displaystyle{ X \setminus (X \setminus \{x\})=\{x\}}\) jest zbiorem skończonym. Jak nietrudno zauważyć, w topologii dopełnień skończonych zbiory domknięte to wyłącznie zbiory skończone i cały zbiór \(\displaystyle{ X.}\)

JK

No i właśnie o ostatnie zdanie mi chodziło. Czyli dobrze myślałem, że w tym przypadku de facto chodzi o dopełnienie dopełnienia, żeby sprawdzić czy zbiór jest otwarty!!!

Ad 1 - być może niepotrzebnie dodałem zwrot "samo w sobie" i obeszłoby się bez niego. Drugie pytanie przemilczę, ponieważ chciałem właśnie, aby ktoś wytłumaczył mi o co chodzi z topologią dopełnień skończonych w kontekście pierwszej wiadomości z tego wątku.

Ad 2 - słuszna uwaga. Dowód nie polega na podaniu kontrprzykładu. Chyba, że to dowód nie wprost, to tam akurat jest fragment z jego podaniem. Co do ostatniego też się zgadzam - za bardzo uprościłem podczas, gdy NIESTETY, ALE NIE MOŻNA ZAPISAĆ TEGO JAKO RÓŻNICY PRZEDZIAŁÓW.

krasnoludek10 pisze: 27 paź 2024, o 10:24Czyli dobrze myślałem, że w tym przypadku de facto chodzi o dopełnienie dopełnienia, żeby sprawdzić czy zbiór jest otwarty!!!

Tu chodziło akurat o sprawdzenie, czy zbiór jest domknięty...

krasnoludek10 pisze: 27 paź 2024, o 10:24Dowód nie polega na podaniu kontrprzykładu. Chyba, że to dowód nie wprost, to tam akurat jest fragment z jego podaniem.

Niezupełnie. To nie zależy od tego, czy dowód jest wprost czy nie wprost, tylko od tego, czy dowodzimy twierdzenie ogólne, czy egzystencjalne. Kontrprzykłady są używane do falsyfikowania twierdzeń ogólnych (dowód, że stwierdzenie ogólne jest fałszywe jest dowodem twierdzenia egzystencjalnego, mówiącego o istnieniu kontrprzykładu właśnie).

krasnoludek10 pisze: 27 paź 2024, o 10:24Co do ostatniego też się zgadzam - za bardzo uprościłem podczas, gdy NIESTETY, ALE NIE MOŻNA ZAPISAĆ TEGO JAKO RÓŻNICY PRZEDZIAŁÓW.

Czego? Przecież tam nie występowała różnica przedziałów...

JK

Okej, a jakie mogą być przykłady przestrzeni topologicznych, które nie są regularne - odpowiednio NIE \(\displaystyle{ T_1}\) i regularna oraz NIE \(\displaystyle{ T_1}\) i NIEregularna? Czy w pierwszym przypadku może to być dowolny zbiór z topologią antydyskretną? Albo chociaż zbiór dwuelementowy?

A sam próbowałeś znaleźć jakieś przykłady (Wiki, podręczniki...)

Okej, Engelking zgadza się z moją tezą o przestrzeni antydyskretnej, natomiast nigdzie nie mogę znaleźć przykładu do drugiego przypadku.

Może tu: