Matematyka.pl

\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem nieskończonym, który bierzemy z topologią dopełnień skończonych. Udowodnić, że ta przestrzeń topologiczna jest ośrodkowa. Kiedy \(\displaystyle{ X }\) spełnia pierwszy aksjomat podzielności (uzasadnić) ?

aneta909811 pisze: ↑2 lip 2023, o 18:30 Udowodnić, że ta przestrzeń topologiczna jest ośrodkowa.

Wskazówka. Ile wynosi domknięcie dowolnego zbioru nieskończonego?

Kiedy \(\displaystyle{ X }\) spełnia pierwszy aksjomat podzielności (uzasadnić) ?

Chyba przeliczalności. Gdy \(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalny, to nie spełnia.

Szkic dowodu. Przypuśćmy, że istnieje baza przeliczalna \(\displaystyle{ \mathcal B}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\). Zbiór
\(\displaystyle{ A= \bigcup_{U\in\mathcal B}(X\setminus U)}\)
jest przeliczalny, więc istnieje \(\displaystyle{ y\notin A}\) taki, że \(\displaystyle{ y\neq x}\).
Aby otrzymać sprzeczność, należy rozważyć zbiór \(\displaystyle{ X\setminus\{y\}}\) (który jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\)).