Czy w każdej przestrzeni \(\displaystyle{ T_2}\) z przeliczalną bazą istnieje przeliczalna sieć złożona ze zbiorów domkniętych ?
Sieć to rodzina \(\displaystyle{ A}\) podzbiorów przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\), taka, że każdy zbiór otwarty jest sumą jakichś zbiorów z tej rodziny \(\displaystyle{ A}\). (w szczególności, jeśli wszystkie zbiory z \(\displaystyle{ A}\) są otwarte to jest to baza topologii).
Odpowiedź jest negatywna: rozważmy \(\displaystyle{ \RR}\) z topologią daną przez podbazę
$$\{ (a, b) : a, b \in \QQ, a < b \} \cup \{ \RR \setminus \QQ \}.$$
Oczywiście jest to przestrzeń \(\displaystyle{ T_2}\) z przeliczalną bazą. Wykażemy, że w tej przestrzeni nie istnieje przeliczalna sieć złożona ze zbiorów domkniętych. Gdyby taka sieć istniała, to \(\displaystyle{ \RR \setminus \QQ}\) dałoby się przedstawić jako sumę pewnej przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych. Jednak nietrudno sprawdzić, że każdy domknięty podzbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus \QQ}\) jest też domknięty w topologii euklidesowej, zatem \(\displaystyle{ \RR \setminus \QQ}\) byłby typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) w topologii euklidesowej. A wiadomo, że nie jest - sprzeczność.
Czy w każdej przestrzeni \(\displaystyle{ T_2}\) z przeliczalną bazą istnieje przeliczalna sieć złożona ze zbiorów domkniętych ?
