Matematyka.pl

Cześć, jak to udowodnić (krok po kroku)?
Dowieść, że na \(\displaystyle{ R}\) metryki euklidesowa \(\displaystyle{ d_{e}(x,y)=\left| x-y\right|}\) i łukowa \(\displaystyle{ d(x,y)=\left| \arctan x-\arctan y\right|}\) są równoważne, ale nie ściśle równoważne.

Równoważność wynika z ciągłości \(\displaystyle{ \arctg}\). To, że nie są ściśle równoważne - dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) zachodziłaby nierówność
\(\displaystyle{ |x| \leq C | \arctg x | \leq \frac{C \pi}{2}}\)
- sprzeczność.

A to, że nie są ściśle równoważne, to można uzasadnić, że jedna z nich jest przestrzenią zupełną, a druga nie ?
Np. rozważając ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})=n}\)?
Wiem, że taki ciąg musiałbym wziąć, ale nie potrafię tego "policzyć", nie widzę tego, że jedno jest zupełne a drugie nie...

Ale to przecież nieprawda, że jedna z tych przestrzeni jest zupełna, a druga nie.

Premislav pisze:Ale to przecież nieprawda, że jedna z tych przestrzeni jest zupełna, a druga nie.

Jest to prawda. \(\displaystyle{ d}\) jest klasyczną metryką "rozzupełniającą" \(\displaystyle{ \R}\). W metryce \(\displaystyle{ d}\) np. ciąg \(\displaystyle{ (n)}\) jest Cauchy'ego, jednak nie jest on zbieżny.

No to brawo dla mnie, pokazałem nierówność
\(\displaystyle{ |\arctan x-\arctan y| \le |x-y|}\), a skorzystałem z nierówności o przeciwnym zwrocie...
Przepraszam.