Matematyka.pl

Jak pokazać, że każda przestrzeń zwarta jest zupełna?

Każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna. Rzeczywiście, niech dany będzie ciąg Cauchy'ego w takiej przestrzeni. Ze zwartości ma on podciąg zbieżny. Ale jeżeli ciąg Cauchy'ego ma podciąg zbieżny to sam jest on zbieżny. Stąd, każdy ciąg Cauchy'ego w zwartej przestrzeni metrycznej jest zbieżny.

Masz na myśli przestrzeń metryczną zwartą. Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie zwartą przestrzenią metryczną a \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n\in \NN}}\) będzie ciągiem Cauchy'ego w \(\displaystyle{ X}\). Wybierzmy z \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n\in \NN}}\) podciąg zbieżny \(\displaystyle{ \{x_{n_k}\}_{k\in \NN}}\). Rozpatrzmy jego granicę \(\displaystyle{ x}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i niech \(\displaystyle{ N\in \NN}\) będzie takie, że
\(\displaystyle{ d(x_n,x_m)\leq \frac{\epsilon}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ n, m\geq N}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie takie, że:
\(\displaystyle{ d(x,x_{n_k})\leq \frac{\epsilon}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ n_k\geq K}\). Niech \(\displaystyle{ n\geq \max(N,K)}\). Dobierzmy \(\displaystyle{ n_k\geq \max(N,K)}\) wtedy mamy:
\(\displaystyle{ d(x,x_n)\leq d(x,x_{n_k})+d(x_{n_k},x_n)\leq \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\leq \epsilon}\)
Stąd pokazaliśmy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=x}\)

Podam teraz drugi dowód. Niech \(\displaystyle{ \{F_n\}_{n\in \NN}}\) będzie ciągiem zstępujacym zbiorów domkniętych i niepustych. Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}F_n=\emptyset}\)
Zdefiniujmy:
\(\displaystyle{ U_n=X\setminus F_n}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ X=\bigcup_{n\in \NN}U_n}\)
Ze zwartości można wybrać pokrycie skończone:
\(\displaystyle{ U_{n_1},...,U_{n_k}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \emptyset=F_{n_1}\cap F_{n_2}\cap...\cap F_{n_k}}\)
co jest niemożliwe. Zatem:
\(\displaystyle{ \bigcap_{n\in \NN}F_n\neq \emptyset}\)
Stosując teraz to do zbiorów \(\displaystyle{ F_n=\cl\{x_n,x_{n+1},...\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n\in \NN}}\) ciąg Cauchy'ego w \(\displaystyle{ (X,d)}\), wygrywamy, bo przecięcie tych zbiorów jest niepuste i ma zerową średnicę czyli jest jednopunktowe.