Udowonić, że \(\displaystyle{ (A \times B) ^{d} = (A ^{d} \times \bar{B}) \cup (\bar{A} \times B ^{d} )}\)
Wiem, że takie zadania robi się poprzez wykazanie zawiernia w jedną jak i drugą stronę, ale czy taki dowód jak ja tutaj zaprezentowałem jest w pełni poprawny?
\(\displaystyle{ (A ^{d} \times \bar{B}) =(\bar{A} \times \bar{B}) \setminus (A ^{i} \times \bar{B}) =(\bar{A} \times \bar{B}) \setminus ((A ^{i} \times B ^{d}) \cup (A ^{i} \times B ^{i})) }\)
\(\displaystyle{ (\bar{A} \times B ^{d} ) =(\bar{A} \times \bar{B}) \setminus (\bar{A} \times B ^{i} ) = (\bar{A} \times \bar{B}) \setminus ((A ^{d} \times B ^{i}) \cup (A ^{i} \times B ^{i}))}\)
\(\displaystyle{ (A ^{d} \times \bar{B}) \cup (\bar{A} \times B ^{d} ) = (\bar{A} \times \bar{B}) \setminus (A ^{i} \times B ^{i}) = (A \times B) ^{d}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C ^{d} }\) to punkty skupienia zbioru \(\displaystyle{ C}\) a \(\displaystyle{ C ^{i}}\) punkty izolowane zbioru \(\displaystyle{ C}\)
Proszę o potwierdzenie czy taki dowód jest poprawny, a jeżeli nie to jak to poprawić lub jak się zabrać za to poprawnie