Matematyka.pl

Mam metrykę \(\displaystyle{ (\mathbb {R} , d_{e})}\)
Zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ x \in \mathbb {R}; x^{2}+3x+2<0 \right\} =(-2,-1)}\)

Pokazać, że zbiór A nie jest domknięty jest prosto. Wystarczy wziąć ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) należący do A, zbieżny do x, który nie należy do A.

Nie jestem pewna, czy dobrze patrzę na dowodzenie otwartości A.
Biorę dopełnienie A, t.ż.
\(\displaystyle{ B=\left\{ x \in \mathbb {R}; x^{2}+3x+2 \ge 0 \right\} =(-2,-1)}\)
Aby A było otwarte, należy sprawdzić domkniętość dopełnienia (czyli zbioru B). Weźmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ x_{n} \in B}\) , zbieżny do pewnego x. Wtedy zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ x_{n}^{2}+3x_{n}+2 \ge 0 \right\}}\)
Nierówności nieostre są zachowywane przy przejściach granicznych, więc zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ x^{2}+3x+2 \ge 0 \right\}}\)
Więc \(\displaystyle{ x \in B}\) zatem B jest domknięty, a stąd wynika, że A jest otwarty.

W poleceniu było sprawdzić, czy zbiory są otwarte/domknięte. Dlatego dowodziłam... nawet jak jest to bezsensowne.

edytka96, jak definiujesz zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej?

JK

Jan Kraszewski, Zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\), gdy dla każdego elementu z \(\displaystyle{ U}\) istnieje promień \(\displaystyle{ r>0}\) taki, że \(\displaystyle{ B(x,r)}\) zawiera się w \(\displaystyle{ U}\).

No to korzystając z tej definicji pokaż, że Twój przedział jest otwarty.

JK

No z wyznaczaniem r mam problemy, patrzyłam do ćwiczeń na inny przykład, bo wyznaczaliśmy r, ale nic mi się nie rozjaśniło. Czy można uznać \(\displaystyle{ x^{2}+3x+2}\) za wzór metryki, \(\displaystyle{ r=0}\) wtedy zbiór A byłby bezpośrednio z definicji kuli otwartej otwarty?

edytka96 pisze:Czy można uznać \(\displaystyle{ x^{2}+3x+2}\) za wzór metryki, \(\displaystyle{ r=0}\) wtedy zbiór A byłby bezpośrednio z definicji kuli otwartej otwarty?

Przecież metryka jest euklidesowa, to co napisałaś nie ma sensu.

Masz pokazać, że przedział \(\displaystyle{ (-2,-1)}\) jest otwarty. Ustalasz \(\displaystyle{ x\in(-2,-1)}\). Weź \(\displaystyle{ r=\min\{|x+2|,|x+1|\}}\) i pokaż, co trzeba.

JK

Czyli mamy coś takiego:

\(\displaystyle{ B(x,r) = \begin{cases} (x-\left| x+2\right|,x+\left| x+2\right| ) , gdy \left| x+2\right| < \left| x+1\right| \\ (x+\left| x+1\right|,x-\left| x+1\right| ) ,gdy \left| x+2\right| > \left| x+1\right|\end{cases}= \begin{cases} (-2,2x+2) ,gdy \left| x+2\right| < \left| x+1\right| \\ (2x+1,-1) ,gdy \left| x+2\right| > \left| x+1\right|\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (-2,2x+2) \subset (-2,-1)}\), bo \(\displaystyle{ -2<x<-\frac{3}{2} \Leftrightarrow -4<2x<-3 \Leftrightarrow -2<2x+2<-1}\)

\(\displaystyle{ (2x+1,-1) \subset (-2,-1)}\), bo \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}<x<-1 \Leftrightarrow -3<2x<-2 \Leftrightarrow -2<2x+1<-1}\)

to wystarczy?

szw1710, a to co post wcześniej nie wystarczy?
No cóż. Na analizie skutecznie chcą zniechęcić do topologii, która czeka nas w przyszłym roku

Post wcześniej to zbytnie komplikowanie

A jak sprawdzić w \(\displaystyle{ (\mathbb {R}^2 , d_{e})}\)
\(\displaystyle{ A=\left\{ (x,y) \in \RR^{2}; xy=3 \right\}}\)
Rysunek wykonałam, jednak jak sprawdzić otwartość?
Czy do domknięcia wystarczy dowód z def. ciągowej domkniętości?