Matematyka.pl

Proszę o pomoc w zrobieniu dowodu.
Chcę sprawdzić czy bycie punktem izolowanym jest niezmiennikiem homeomorfizmu.
Biorę \(\displaystyle{ x \in X, x \in IsoA}\) oraz \(\displaystyle{ h:X \rightarrow Y}\) - homeomorfizm
Skoro \(\displaystyle{ x}\) jest punktem izolowanym to istnieje \(\displaystyle{ r>0}\) takie że \(\displaystyle{ K_X(x,r)=\{x\}}\), czyli że w pobliżu nie ma innych punktów.
Skoro h - homeomorfizm to istnieje \(\displaystyle{ y=h(x), y \in Y}\) oraz \(\displaystyle{ h(K_X(x,r)) \subset K_Y(y,R)}\)
I teraz czy to pokazuje, że w takim razie w tym otoczeniu \(\displaystyle{ K_Y(y,R)}\) także nie ma innych punktów poza y, czy może być tak ze np. wpadają tam punkty spoza tego otoczenia x i nie jest to niezmiennik?

slimakslimak pisze:Biorę \(\displaystyle{ x \in X, x \in IsoA}\)

Czy zapis \(\displaystyle{ x \in IsoA}\) oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) jest punktem izolowanym całej przestrzeni, czy pewnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset X}\)? W tym drugim przypadku nie musi być prawdą, że

istnieje \(\displaystyle{ r>0}\) takie że \(\displaystyle{ K_X(x,r)=\{x\}}\)

Dalej piszesz, że

\(\displaystyle{ h(K_X(x,r)) \subset K_Y(y,R)}\)

Czym jest \(\displaystyle{ R}\)? Tzn. czy twierdzisz, że istnieje \(\displaystyle{ R}\) takie, że zachodzi takie zawieranie? Jeśli tak, to dlaczego?

Czym jest R? Tzn. czy twierdzisz, że istnieje R takie, że zachodzi takie zawieranie? Jeśli tak, to dlaczego?

Prawdą jest nawet mocniejsze stwierdzenie - dla każdego \(\displaystyle{ R \ge 0}\) zachodzi takie zawieranie

W ogóle ślimak tutaj nie powinnaś działać na metrykach tylko ogólnych przestrzeniach topologicznych (o ile je miałaś).

leg14 pisze: Prawdą jest nawet mocniejsze stwierdzenie - dla każdego \(\displaystyle{ R \ge 0}\) zachodzi takie zawieranie

Zgadzam się (wszak \(\displaystyle{ K_X(x,r)=\{x\}}\)), ale miałem podejrzenie, że autorka tematu skorzystała z jakiejś nieprawdziwej własności (wszak nie podała uzasadnienia tego zawierania).

Czyli zamiast tych kul pisać o np. otoczeniu \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) i otoczeniu \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ y=h(x)}\)?

-- 15 sty 2018, o 23:37 --

I czy może być tak że \(\displaystyle{ h(U)=V}\) i dlatego w \(\displaystyle{ V}\) nie ma innych punktów i dlatego \(\displaystyle{ y}\) też jest punktem izolowanym?