Matematyka.pl

Mam pytanie:
Jeśli mam dowolny homeomorfizm w przestrzeniach metrycznych: \(\displaystyle{ f:(X,\rho_{1}) \to (X,\rho_{2})}\),
to czy dla kuli otwartej \(\displaystyle{ B_{2}(y;r) \subseteq (X,\rho_{2})}\) zawsze znajdzie się kula
\(\displaystyle{ B_{1}(x;q) \subseteq (X,\rho_{1})}\) zawarta w kuli \(\displaystyle{ B_{2}(y,r)}\)?
Jakie byłoby mniej więcej uzasadnienie?

Zawieranie z trzeciej linijki jest bez sensu, chcesz napisać \(\displaystyle{ B_2(y,r) \subseteq X}\) i dopowiedzieć, że chodzi o drugą metrykę.

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest homeomorfizmem, to \(\displaystyle{ \rho_1 = \rho_2}\).

Medea 2 pisze:Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest homeomorfizmem, to \(\displaystyle{ \rho_1 = \rho_2}\).

Tak dobrze to chyba nie ma.


Teza nie zachodzi nawet wtedy, gdy założymy, że \(\displaystyle{ f}\) jest izometrią.

Wskazówka - jeśli to homeomorfizm to metryki są równoważne.

Niekoniecznie. Powtórzę: teza nie jest prawdziwa.

Kontrprzykład musi być w przestrzeni nieskończonego wymiaru lub z metrykami niepochodzącymi od norm, bo inaczej papatki. Może tak:
trzaśnijmy sobie dwie metryki kolejowe w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\), jedną (niech to będzie \(\displaystyle{ \rho_{1}}\)) ze standardowym węzłem w \(\displaystyle{ (0,0)}\), drugą (oczywiście to będzie moje \(\displaystyle{ \rho_{2}}\)) z węzłem w \(\displaystyle{ (0,1)}\), homeomorfizm można napisać dość oczywisty, za to jak sobie pirdykniemy taką kulę w \(\displaystyle{ (\RR^{2}, \rho_{2})}\), że jej środek jest w \(\displaystyle{ (1,1)}\), a promień ma np. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), to nie wcisnę w nią żadnej kulki z \(\displaystyle{ \rho_{1}}\), bo \(\displaystyle{ \Int_{\rho_{1}}\left( \frac{1}{2} , \frac{3}{2} \right)\times \left\{ 1\right\}=\emptyset}\)
Dopiero za drugim razem zmogłem topo i ogólnie jestem tępy matematycznie, więc ciekawe, czy ten pomysł się nie sypie. Spróbuję udowodnić, że taka "translacja" jest homeomorfizmem, bo tylko tutaj miałem wątpliwość (tzn. wzajemna jednoznaczność jest trywialna, ale trochę ciekawiej wygląda sprawa ciągłości \(\displaystyle{ f:(\RR^{2}, \rho_{1}) \rightarrow (\RR^{2}, \rho_{2})}\), danej wzorem \(\displaystyle{ f((x,y))=(x,y+1)}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}}\), bo moja intuicja krzyczy, że ciągłośc jest oczywista, czyli istnieje duże ryzyko, że w ogóle jej nie ma ), ale na karteczce, tutaj to za dużo pisania w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u.
Też bym się nabrał, gdybym nie przeczytał, że to nieprawda.

Przykład jest poprawny a twoje \(\displaystyle{ f}\) jest właśnie izometrią.