Matematyka.pl

W pewnym doświadczeniu zmieszano w starannie izolowanym naczyniu \(\displaystyle{ 200 g}\) aluminium (ciepło
właściwe \(\displaystyle{ 900 J/kg \cdot K}\)) o temperaturze \(\displaystyle{ 100^\circ C}\) z \(\displaystyle{ 50 g}\) wody (ciepło właściwe \(\displaystyle{ 4190 J/kg \cdot K}\)) o temperaturze \(\displaystyle{ 20^\circ C}\). a) Ile wynosi temperatura mieszaniny w stanie równowagi?
Ile wynosi zmiana entropii b) aluminium, c) wody, d) układu woda-aluminium?

Z bilansu cieplnego wyszło mi, że \(\displaystyle{ T _{k} = 11,4^\circ C}\).
Mam problem ze zmianą entropii, proszę o pomoc.
Znalazłam wzór \(\displaystyle{ \Delta S= \frac{Q}{T}}\) , ale gdy podstawię \(\displaystyle{ \Delta S= \frac{Q _{Al} }{T _{Al} }}\) to skróci mi się temperatura i bede miec po prostu \(\displaystyle{ m _{Al} \cdot cw _{Al}}\), chyba nie o to chodzi
Natomiast jeśli policzymy już \(\displaystyle{ \Delta S _{Al}}\) i \(\displaystyle{ \Delta S _{wody}}\) to wystarczy zsumować żeby mieć zmianę entropii układu?

Dane:

\(\displaystyle{ m_{a} = 200 g = 0,2 kg}\)

\(\displaystyle{ c_{a} = 900 \frac{J}{kg\cdot K}}\)

\(\displaystyle{ T_{a} = 100^{o}C = 373 K}\)

\(\displaystyle{ m_{w} = 50g = 0,05 kg}\)

\(\displaystyle{ c_{w}= 4190\frac{J}{kg\cdot K}}\)

\(\displaystyle{ T_{w} =20^{o}C = 293 K}\)

Obliczyć

a) \(\displaystyle{ T_{k}}\) - temperaturę końcową mieszaniny woda-aluminium w stanie równowagi.

b) \(\displaystyle{ \Delta S_{a}}\) - zmianę entropii aluminium

c) \(\displaystyle{ \Delta S_{w}}\) -zmianę entropii wody

d) \(\displaystyle{ \Delta S}\) - zmianę entropii układu woda-aluminium.

Rozwiązanie

a)

Z bilansu cieplnego

\(\displaystyle{ m_{a}\cdot c_{a}\cdot (T_{k} - T_{a}) = m_{w}\cdot c_{w}\cdot (T_{k}- T_{w})}\)

\(\displaystyle{ T_{k} = \frac{m_{a}\cdot c_{a}\cdot T_{a} + m_{w}\cdot c_{w}\cdot T_{w}}{m_{a}\cdot c_{a}+ m_{w}\cdot c_{w}} \ \ (1)}\)

b)

\(\displaystyle{ \Delta S_{a} = \int \frac{d Q}{T} = m_{a}\cdot c_{a}\int_{T_{a}}^{T_{k}}\frac{d T}{T}= m_{a}\cdot c_{a} \cdot \ln\left( \frac{T_{k}}{T_{a}}\right) \ \ (2)}\)

c)

\(\displaystyle{ \Delta S_{w}= \int \frac{d Q}{T} = m_{w}\cdot c_{w}\int_{T_{w}}^{T_{k}}\frac{d T}{T}= m_{w}\cdot c_{w}\cdot \ln\left( \frac{T_{k}}{T_{w}}\right) \ \ (3)}\)

d)

\(\displaystyle{ \Delta S = \Delta S_{a} + \Delta S_{w} \ \ (4)}\)


Proszę podstawić do wzorów \(\displaystyle{ (1)- (4)}\) dane liczbowe, sprawdzić zgodność jednostek i zinterpretować otrzymane wyniki liczbowe.

Obliczyłam i w obu przypadkach b, c zmiana entropii wyszła ujemna... Trochę mnie to dziwi, bo w układzie izolowanym zmiana entropii powinna być większa, lub równa zero.
Chyba, ze po prostu o to chodzi, że taki proces w przyrodzie nie ma prawa wystąpić?
i także \(\displaystyle{ \Delta S <0}\)

Zrobiłaś błąd w obliczeniu temperatury końcowej \(\displaystyle{ T_{k}.}\)

Zmiana entropii dla aluminium powinna wyjść ujemna, dla wody dodatnia.

Zmiana entropii układ aluminium - woda powinna wyjść dodatnia.

Proszę jeszcze raz dokładnie podstawić wartości liczbowe i jednostki.

Aaa, widzę, nie wiem jak ja to liczyłam, niby na kalkulatorze. Chyba za późno było. Bardzo Ci dziękuję, wszystko się zgadza