Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem:

W zasklepionej na jednym końcu rurce o długości \(\displaystyle{ 20\,cm}\) znajduje się powietrze pod ciśnieniem \(\displaystyle{ 1\cdot 10^5\, Pa}\). Rurkę odwróconą dnem do góry zanurzono całkowicie w zbiorniku z wodą.
Po zanurzeniu dno rurki znalazło się na powierzchni wody. Oblicz wysokość słupa wody w rurce. Załóż, że temperatura powietrza zawartego w rurce nie uległa zmianie.

W odpowiedziach jest napisane że wysokość słupa wody to \(\displaystyle{ \approx 0,5\, cm}\) (pół centymetra) ale nie mam pojęcia jak do takiej odpowiedzi dojść. Proszę o pomoc
Szukałam na internecie odpowiedzi ale większość stron nie podaje obliczeń albo wynik jest zły.

Skorzystaj z prawa przemiany izotermicznej (prawo Boyle’a-Mariotte’a) i uwzględnij dodatkowe ciśnienie hydrostatyczne.

W takim razie mam założyć, że ciśnienie hydrostatyczne zostało dodane do ciśnienia powietrza?
\(\displaystyle{ P _{1} \cdot S \cdot h = (P_1 + pgw)\cdot(h-w)\cdot S}\)
wtedy (przybliżając g, p):
\(\displaystyle{ -10w ^2-98w=0}\)
niestety brak w tym poprawnej odpowiedzi.

Zakładając, że zmieni się ciśnienie gazu bo i zmniejszy się jego objętość, to
\(\displaystyle{ P_2 = \frac{P_1}{h-w}}\)
idąc dalej:
\(\displaystyle{ P _{1} \cdot S \cdot h = (P_2 + pgw)\cdot(h-w)\cdot S}\)
czyli
\(\displaystyle{ P _{1} \cdot h = (\frac{P_1}{h-w} + pgw)\cdot(h-w)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ -10w^2+2w+80 = 0}\)
Delta ujemna, więc nic z tego

gdzie:
h - to wysokość zbiornika
S - pole powierzchni podstawy rurki


Jak można jeszcze ułożyć to równanie? Czy coś nie jest wzięte pod uwagę?

gabive pisze:W takim razie mam założyć, że ciśnienie hydrostatyczne zostało dodane do ciśnienia powietrza?
\(\displaystyle{ P _{1} \cdot S \cdot h = (P_1 + pgw)\cdot(h-w)\cdot S}\)

Mała literą p oznacza się ciśnienie , a gęstość literką \(\displaystyle{ \rho}\) zatem
\(\displaystyle{ p = 10^5\ Pa\\ h =20\ cm\\ \rho = 10^3\ \frac{kg}{m^3} \\}\)
x - wysokość słupa wody w rurce

gabive pisze:
gdzie:
h - to wysokość zbiornika
S - pole powierzchni podstawy rurki

h jest wysokością probówki a nie zbiornika, natomiast pole powierzchni przekroju S nie jest potrzebne i dlatego nie jest podane

gabive pisze:Jak można jeszcze ułożyć to równanie? Czy coś nie jest wzięte pod uwagę?

\(\displaystyle{ ph = [p+ \rho g(h - x)](h-x)}\)

Dane

\(\displaystyle{ p_{0} = 1\cdot 10^5 Pa}\)

\(\displaystyle{ l = 20 cm = 0,2 m}\)

\(\displaystyle{ \rho = 1000 \frac{kg}{m^3}}\)

\(\displaystyle{ g = 10\frac{m}{s^2}.}\)

Obliczyć

\(\displaystyle{ h}\) - wysokość słupa wody w rurce.

Rozwiązanie

Rurka po odwróceniu dniem pozostaje w stanie równowagi - różnica ciśnień w jej punkcie styku z dnem naczynia i punkcie środka menisku będzie równa ciśnieniu hydrostatycznemu słupka wody

\(\displaystyle{ p_{1} - p_{2} = \rho\cdot g \cdot h}\) (1)


Ciśnienie \(\displaystyle{ p_{1}}\) jest sumą ciśnień - ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia wody, wynikającego z zanurzenia całkowitego rurki w zbiorniku:

\(\displaystyle{ p_{1} = p_{0} + \rho \cdot l \cdot g}\) (2)

Ciśnienie \(\displaystyle{ p_{2},}\) to ciśnienie powietrza w rurce po zanurzeniu rurki do zbiornika z wodą (ciśnienie napięcia powierzchniowego menisku pomijamy - nie podano w treści zadania promienia przekroju rurki).

Ciśnienie to można obliczyć z prawa przemiany izotermicznej (Boyle'a - Mariotte'a), bo powietrze w rurce po zanurzeniu rurki w zbiorniku wody ulega izotermicznemu sprężeniu i temperatura powietrza zawartego w rurce jest stała

\(\displaystyle{ p_{2}\cdot (l - h)\cdot S = p_{o}\cdot l \cdot S}\)

\(\displaystyle{ S}\) - pole powierzchni przekroju rurki.

\(\displaystyle{ p_{2}= p_{0}\cdot \frac{l}{l- h}}\) (3)

Podstawiając (2) i (3) do (1)

\(\displaystyle{ p_{0} + \rho \cdot l \cdot g - p_{0}\cdot \frac{ l}{l-h} = \rho \cdot h \cdot g}\)

Przekształcając to równanie do równania kwadratowego względem \(\displaystyle{ h}\)w postaci ogólnej:

\(\displaystyle{ \rho \cdot g \cdot h^2 - (2\rho \cdot l \cdot g+p_{0}) \cdot h +\rho \cdot l^2 \cdot g = 0.}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 4\rho \cdot p_{0} \cdot l \cdot g + p_{o}^2}\)

\(\displaystyle{ h_{1}= \frac{2\rho\cdot l \cdot g - \sqrt{4\rho \cdot p_{0} \cdot l \cdot g + p_{o}^2}}{2\rho g}}\)

\(\displaystyle{ h_{2} = \frac{2\rho\cdot l\cdot g + \sqrt{4\rho\cdot p_{0} \cdot l \cdot g + p_{o}^2}}{2\rho g}}\)

Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy:

\(\displaystyle{ h_{1} \approx 0,004 m = 0,4 cm.}\)

\(\displaystyle{ h_{2} \approx 10, 4 m > l = 0,2 m}\) (ten wynik odrzucamy).

janusz47 pisze wyżej: "nie podano w treści zadania promienia przekroju rurki" .
Bo nie jest potrzebny. Dla czego?
Wyrażjąc wszystkie ciśnienia wysokością słupa wody łatwo rozwiązuje się to zadanie.

kruszewski

Do obliczenia ciśnienia napięcia powierzchniowego związanego z kształtem menisku \(\displaystyle{ p_{p}= \pm \frac{2\sigma}{ R_{0}}}\) jest potrzebna wartość promienia \(\displaystyle{ R_{0}.}\)

Jeśli nawet tą wartość wyrazimy przez pole powierzchni rurki \(\displaystyle{ R_{0} = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}}\) to i tak nie uprościmy wielkości \(\displaystyle{ S}\) , która łatwo się upraszcza np. w prawie Boyle'a- Mariotte'a , gdzie często w rozwiązaniu zadań jest pomijana.

Dlatego rozwiązanie tego zadania tej wielkości o której wspomniałem - nie uwzględnia.

Jeśli nawet przyjmiemy np. \(\displaystyle{ R_{0}= 2,0\cdot 10^{-4}m,}\) to wtedy otrzymamy \(\displaystyle{ h_{1}\approx 0,014 m}\) i \(\displaystyle{ h_{2} \approx 11 m.}\)

To prawda, ale jak nie podaje się rodzaju materiału rurki, to po co komu potrzebna jest znajomość jej średnicy wewnętrznej? Zakłada się że jest on płaski.

Rurka nie jest kapilarą a jak nie jest, to można zauważyć, że wycięty myślowo w osi rurki słupek wody
ma menisk płaski i ma wysokość taką o jaką jest pytanie.