Matematyka.pl

W zbiorniku o objętości \(\displaystyle{ V=2 m^{3} }\) znajduje się \(\displaystyle{ CO_{2} }\) o parametrach: \(\displaystyle{ p_{1} =0,6MPa}\) , \(\displaystyle{ T_{1} =300K}\). W ścianie zbiornika jest wbudowany zawór bezpieczeństwa, którego grzybek o powierzchni \(\displaystyle{ A=2 \cdot 10^{-3} m^{2} }\) jest dociskany ciśnieniem otoczenia oraz sprężyną wywierającą siłę \(\displaystyle{ F=1600N}\). Na skutek chwilowego ogrzania gazu do \(\displaystyle{ T_{2} =600K}\) część gazu wypłynęła przez zawór do otoczenia. Oblicz ile \(\displaystyle{ ∆m}\) gazu wypłynęło przez zawór i jakie będzie ciśnienie gazu po ponownym osiągnięciu temperatury początkowej \(\displaystyle{ T_{3}= T_{1} }\) .

Może jakaś własna propozycja, własna myśl, własny pomysł na rozwiązanie zadania.

Dodano po 8 godzinach 40 minutach 6 sekundach:
W zbiorniku o objętości \(\displaystyle{ V = 2m^{3} }\) znajduje się dwutlenek węgla \(\displaystyle{ (CO_{2}) }\) o nadciśnieniu \(\displaystyle{ p_{1}= 0,6 MPa }\) i temperaturze \(\displaystyle{ T_{1} = 320 K.}\) W ściance zbiornika jest wbudowany zawór bezpieczeństwa, którego grzybek o powierzchni \(\displaystyle{ A = 25 cm^2}\) dociskany jest ciśnieniem otoczenia \(\displaystyle{ 2 }\) bary oraz sprężyną o stałej sile nacisku \(\displaystyle{ F = 1600 N.}\) Na skutek ogrzania gazu do temperatury \(\displaystyle{ T_{2}= 360 K }\) jego część odpłynęła przez zawór do otoczenia. Ile moli gazu wypłynęło przez zawór do otoczenia? Jakie byłoby ciśnienie gazu w zbiorniku, gdyby ochłodzić go do początkowej temperatury \(\displaystyle{ T_{3} = T_{1}.}\)

Dane

\(\displaystyle{ V = 2m^3, \ \ p_{1} = 0,6 MPa, \ \ T_{1} = 320 K, \ \ A = 25cm^2 = 25 \cdot 10^{-4} m^2, \ \ F= 1600 N, \ \ T_{2}= 600 K,\ \ M_{CO_{2}} =44 g, \\ R_{CO_{2}} = \frac{8,31}{44} = 0,189 \frac{kN \cdot m}{kg\cdot K} }\)

Obliczyć

a) \(\displaystyle{ \Delta m }\) - masę gazu, która wypłynęła przez zawór

b) \(\displaystyle{ p_{x} }\) - ciśnienie gazu po ochłodzeniu do temperatury początkowej

Analiza zadania

Zawór bezpieczeństwa otworzy się wtedy, gdy ciśnienie w zbiorniku będzie większe od ciśnienia wywieranego na zawór przez siłę sprężyny \(\displaystyle{ \vec{F} }\) i siłę \(\displaystyle{ \vec{F}_{0} }\), pochodzącą od ciśnienia otoczenia \(\displaystyle{ p_{ot}. }\)

Pomijamy straty ciepła przez ścianki zbiornika.

Rozwiązanie

a)

\(\displaystyle{ 1 bar = 10^{5} Pa }\)

Ciśnienie bezpieczeństwa

\(\displaystyle{ p_{b} = \frac{F}{A} }\)

\(\displaystyle{ p_{b} = \frac{1600 (N)}{25\cdot 10^{-4}(m^2)} = 6,4\cdot 10^{5} Pa }\)

Ponieważ, ciśnienie początkowe w zbiorniku

\(\displaystyle{ p_{1} = 0,6\cdot MPa = 6 \cdot 10^{5} Pa < 6,40 \cdot 10^5 Pa + 2 \cdot 10^5 = 8,4 \cdot 10^5 Pa = p_{b} + p_{ot} }\)

więc zawór pozostaje zamknięty.

Zakładamy, że \(\displaystyle{ CO_{2} }\) w zbiorniku jest gazem doskonałym (idealnym). Możemy więc stosować równanie Clausiusa-Clapeyrona

Na początku w zbiorniku znajduje się masa gazu

\(\displaystyle{ m_{1} = \frac{(p_{1} + p_{ot})\cdot V}{R_{CO_{2}} \cdot T_{1} } }\)

\(\displaystyle{ m_{1} = \frac{ 600 (kPa) + 200(kPa) 2(m^3)}{0,189 (kN\cdot m/kg\cdot K)\cdot 300 K)} = 56,347 kg }\)


Po ogrzaniu gazu od temperatury \(\displaystyle{ T_{1} = 320 K }\) do temperatury \(\displaystyle{ T_{2} = 360 K }\) wzrasta jego ciśnienie i po osiągnięciu wartości \(\displaystyle{ P = p_{ot} + p_{b} }\) - gaz będzie wypływał przez zawór bezpieczeństwa

Masa gazu, która pozostała w zbiorniku

\(\displaystyle{ m_{2} = \frac{P \cdot V}{R_{CO_{2}}\cdot T_{2}} }\)

\(\displaystyle{ m_{2} = \frac{(200 kPa + 640 kPa)\cdot V}{0,189((kN\cdot m/kg\cdot K)\cdot 320 K)} = 27,778 kg }\)

Ze zbiornika ubyło

\(\displaystyle{ \Delta m = m_{2} - m_{1} = 56,347 (kg) - 27,778 (kg) = 28,569 \ \ kg }\) dwutlenku węgla

b)

Ciśnienie gazu \(\displaystyle{ p_{x} }\) po ochłodzeniu do temperatury początkowej obliczamy z równania Clausiusa-Clapeyrona

\(\displaystyle{ p_{x} = ... }\)