Matematyka.pl

Witam, mam pewien problem z zadaniem:
Niech X- przestrzeń metryczna, \(\displaystyle{ R= \left\{ A \subset R: A' \ jest \ typu \ F_{\sigma}\right\}}\).Znajdź \(\displaystyle{ \sigma \left(R _{\sigma}\right)}\), gdzie A' to dopełnienie zbioru A.

Problem polega na tym,że wiem jakie jest rozwiązanie, bo jest to cała rodzina zbiorów borelowskich B(X) ale jak to udowodnić?

Moje próby wyglądały tak:

inaczej rodzinę R mogę zapisać w postaci

\(\displaystyle{ R= \left\{ A \subset X: A \ jest \ typu \ G_{\delta}\right\}}\). Wiadomo,że \(\displaystyle{ \left(R _{\sigma}\right)}\) jest sumą wszystkich zbiorów typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\).

Mamy też, że \(\displaystyle{ \sigma \left(R_{\sigma} \right)=\sigma \left(G_{\delta} \right)}\), no chyba,że się mylę??

Z własności,że zbiory typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) są borelowskie otrzymujemy

\(\displaystyle{ \sigma \left(G_{\delta} \right)=B\left(X\right)}\).

Teraz należy wykazać inkluzje w obie strony:

"\(\displaystyle{ \subset}\)", czyli

\(\displaystyle{ \sigma \left(G_{\delta} \right) \subset B\left(X\right)}\)

Z własności, sigma ciała mamy \(\displaystyle{ G_{\delta} \subset G \Rightarrow \sigma\left(G_{\delta}\right) \subset \sigma\left(G\right)=:B\left(X\right)}\) z definicji.

Kłopot mam z udowodnieniem inkluzji w drugą stronę. Nawet nie wiem dlaczego ;/ Proszę o pomoc, wskazówki...

Dziękuję za odpowiedź.

a co z tym,że to ma być \(\displaystyle{ \sigma\left(R_{\sigma}\right)}\) a nie samo \(\displaystyle{ \sigma\left( R\right)}\)?? bez znaczenia, bo to suma zbiorów otwartych i też jest otwarta, tak??