Matematyka.pl

Jak wykazać, że podzbiory 1-elementowe i przeliczalne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) są zbiorami miary Lebesgue'a zero? Bardzo prosze o pomoc.

Niech \(\displaystyle{ \{x_1,x_2,\ldots\}}\) bedzie przeliczalnym podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), dla \(\displaystyle{ n>0}\).

Niech

\(\displaystyle{ Q(x,\varepsilon)}\)

oznacza kostke (na plaszczysnie po prostu kwadrat) o srodku symetrii w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i krawedziach dlugosci \(\displaystyle{ \varepsilon}\), np. rownoleglych do osi wspolrzednych, czyli jesli \(\displaystyle{ t=(t_1,...,t_n)\in\mathbb{R}^n}\) to

\(\displaystyle{ Q(t,\varepsilon)=\left[t_1-\frac{\varepsilon}{2},t_1+\frac{\varepsilon}{2}\right]\times\ldots\times\left[t_n-\frac{\varepsilon}{2},t_n+\frac{\varepsilon}{2}\right]}\)

Wowczas miara zbioru \(\displaystyle{ Q(x_i,\varepsilon)}\), oznaczmy ja \(\displaystyle{ |Q(x_i,\varepsilon)|}\) wynosi \(\displaystyle{ \varepsilon^n}\)

Niech teraz:

\(\displaystyle{ U=\bigcup_{i=1}^\infty Q(x_i,\varepsilon^i)}\)


bedzie pokryciem zboru \(\displaystyle{ \{x_i\}}\) kostkami.

Dla \(\displaystyle{ \varepsilon\in(0,1)}\) mamy:

\(\displaystyle{ |U|=|\bigcup_{i=1}^\infty Q(x_i,\varepsilon^i)|\le\bigcup_{i=1}^\infty |Q(x_i,\varepsilon^i)|=
\sum_{i=1}^\infty\varepsilon^{ni}=\frac{\varepsilon^n}{1-\varepsilon^n}}\). To ostatnie wyrazenie zbiega do zera, gdy \(\displaystyle{ \varepsilon\to 0}\), wiec szukana miara zbioru to zero.

W przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) w szczegolnosci wystarczy podstawic \(\displaystyle{ n=2}\) w powyzszych rachunkach.

Bardzo bardzo dziękuję za pomoc.

Wiem, że moje pytania mogą być głupie, ale mamy sami przeanalizować miary Lebesque'a przed zajęciami. Dlatego mam kilka pytań:

1. Czym jest t w dowodzie?
2. Skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ |Q(x_i,\varepsilon)|}\) wynosi \(\displaystyle{ \varepsilon^n}\)?
3. Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ |\bigcup_{i=1}^\infty Q(x_i,\varepsilon^i)|\le\bigcup_{i=1}^\infty |Q(x_i,\varepsilon^i)|}\) ?

Dziękuję za odpowiedź.