Matematyka.pl

\(\displaystyle{ c_0,c_1c_2c_3...}\) to zapis dziesiętny liczby dodatniej, \(\displaystyle{ c_0}\) to jej część całkowita. \(\displaystyle{ A}\) to zbiór wszystkich takich liczb dodatnich, że \(\displaystyle{ 2|C_{10^n!},n \in \NN}\). Należy uzasadnić, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem \(\displaystyle{ \lambda_1}\)-mierzalnym oraz obliczyć jego miarę.

Ale co będzie w tym przypadku miarą i jaki warunek musi być spełniony?

Niech \(\displaystyle{ 1 \le i_1 < \ldots < i_k}\) i \(\displaystyle{ b_1, \ldots, b_k \in \{ 0, 1, \ldots, 9 \}.}\) Jaka jest miara zbioru

\(\displaystyle{ \left\{ 0 {,} a_1 a_2 a_3 \ldots \in \RR : \bigwedge_{j=1}^k a_{i_j} = b_j \right\}}\) ?

Z tego co rozumiem to ten zbiór jest zbiorem takich liczb, w których jest \(\displaystyle{ k}\) ustalonych współczynników \(\displaystyle{ a}\). Ale nie wiem z czym utożsamiać tu tą miarę? Z długością przedziału złożonego z tych liczb? Czy z prawdopodobieństwem wylosowania liczby z tego zbioru? Jeśli z prawdopodobieństwem to wracając do głównego problemu sądze, że to prawdopodobieństwo wynosi:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{5^n10^{10^n!-n}}{10^{10^n!}}= \lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{10^n}=0}\). Tak jest dobrze?

A wracając do tego co piszesz to jeśli k jest ustalone więc ustalone jest jedynie \(\displaystyle{ k}\) współczynników to myślę, że miara wyniesie \(\displaystyle{ \left( 1/10\right)^k}\) tak?

max123321 pisze:A wracając do tego co piszesz to jeśli k jest ustalone więc ustalone jest jedynie \(\displaystyle{ k}\) współczynników to myślę, że miara wyniesie \(\displaystyle{ \left( 1/10\right)^k}\) tak?

Tak, ale przydałoby się to jakoś uzasadnić.

max123321 pisze:Ale nie wiem z czym utożsamiać tu tą miarę? Z długością przedziału złożonego z tych liczb?

Zbiór tych liczb nie musi być przedziałem, więc nie ma sensu mówić o długości. Chodzi o miarę Lebesgue'a tego zbioru.

max123321 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{5^n10^{10^n!-n}}{10^{10^n!}}= \lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{10^n}=0}\). Tak jest dobrze?

Samo w sobie na pewno nie, bo te rachunki trzeba jakoś skomentować.

Dasio11 pisze:

max123321 pisze:A wracając do tego co piszesz to jeśli k jest ustalone więc ustalone jest jedynie \(\displaystyle{ k}\) współczynników to myślę, że miara wyniesie \(\displaystyle{ \left( 1/10\right)^k}\) tak?

Tak, ale przydałoby się to jakoś uzasadnić.

max123321 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{5^n10^{10^n!-n}}{10^{10^n!}}= \lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{10^n}=0}\). Tak jest dobrze?

Samo w sobie na pewno nie, bo te rachunki trzeba jakoś skomentować.

Uzasadnienie pierwszego to tak:
Na dowolnym nieszczególnym miejscu po przecinku mamy \(\displaystyle{ 10}\) możliwości, a na szczególnym \(\displaystyle{ 1}\). Zatem łącznie liczba tych możliwości to na \(\displaystyle{ n}\) miejscach gdzie \(\displaystyle{ n > k}\) wynosi \(\displaystyle{ 10^{n-k}}\). Wszystkich możliwośći jest \(\displaystyle{ 10^n}\), zatem przechodzac do granicy mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{10^{n-k}}{10^n}= \frac{1}{10^k}}\).

Uzasadnienie drugiego analogicznie. Patrzymy na przedział pierwszych \(\displaystyle{ 10!}\) miejsc po przecinku. Możliwości mamy \(\displaystyle{ 10^{10!-1}*5}\). Potem patrzymy na przedział następny między \(\displaystyle{ 10!+1}\), a \(\displaystyle{ 100!}\) miejsc po przecinku. Mamy na nim możliwości \(\displaystyle{ 10^{100!-10!-1}*5}\). Łącznie na tych dwóch odcinkach mamy \(\displaystyle{ 10^{100!-2}5^2}\) możliwości i analogicznie dalej. Łącznie na \(\displaystyle{ n}\) przedziałach mamy \(\displaystyle{ 5^n10^{10^n!-n}}\) możliwości. Wszystkich możliwości na tych przedziałach jest \(\displaystyle{ 10^{10^n!}}\) możliwości. Z ilością przedziałów dążymy do nieskończoności zatem ta miara to:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{5^n10^{10^n!-n}}{10^{10^n!}}= \lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{10^n}=0}\)

Takie uzasadnienie jest ok?