Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \overline{\mu}}\) jest miarą zewnętrzną skończoną (tzn. \(\displaystyle{ \overline{\mu}(X)<\infty}\) ), to zbiór A jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \overline{\mu}(A^{c})=\overline{\mu}(X) -\overline{\mu}(A)}\) .
Implikację \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) pokazać jest łatwo, ponieważ jeśli A jest mierzalny, to spełnia warunek Caratheodory'ego, tzn. dla każdego zbioru\(\displaystyle{ B \subset X}\):
\(\displaystyle{ \overline{\mu}(A) = \overline{\mu}(A \cap B) + \overline{\mu}(A^{c} \cap B)}\)
Zatem biorąc za zbiór B całą przestrzeń X i korzystając ze skończoności X, otrzymujemy tezę.
Nie wiem natomiast, jak pokazać implikację \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) .
Można skorzystać z tego (taka była wskazówka do zadania), że jeśli\(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą powstałą z \(\displaystyle{ \overline{\mu}}\) przez obcięcie do sigma-ciała zbiorów mierzalnych względem \(\displaystyle{ \overline{\mu}}\) , to
\(\displaystyle{ \overline{\mu}(A) = \inf {\mu (F): A \subset F}}\) , gdzie F należą do powyższego sigma-ciała.