Witam. Chciałbym zapytac czy moje rozumowanie jest poprawne. Otóz:
określmy zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR^N}\)
\(\displaystyle{ o \left( A \right) =\inf \left\{ \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) : A \subset \bigcup_{n=1}^{ \infty }P_n \wedge P_n-\mbox{otwarty}, n \in \NN \right\} ,\\
d \left( A \right) =\inf \left\{ \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) : A \subset \bigcup_{n=1}^{ \infty }P_n \wedge P_n-\mbox{domknięty}, n \in \NN \right\} \\
p \left( A \right) =\inf \left\{ \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) : A \subset \bigcup_{n=1}^{ \infty }P_n \right\} ,}\)
gdzie
\(\displaystyle{ vol_NP_n}\) oznacza objetosc
Mam do udowodnienia następujący lemat
\(\displaystyle{ o \left( A \right) =d \left( A \right) =p \left( A \right)}\)
Chodzi mi teraz o konkretny przypadek, gdy \(\displaystyle{ o \left( A \right) = \infty}\)
Prosze o sprawdzenie czy dobrze rozumuje:)
Otóz
\(\displaystyle{ o \left( A \right) \leqslant \sum_{n=1}^{ \infty } vol_N \left( P_n \right) = \sum_{n=1}^{ \infty } vol_Ncl \left( P_n \right) < d \left( A \right) + \epsilon}\)
Przy \(\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0}\) mamy \(\displaystyle{ o \left( A \right) \leqslant d \left( A \right)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ o \left( A \right) = \infty}\), wiec \(\displaystyle{ o \left( A \right) =d \left( A \right)}\)...teraz korzystając z określenia \(\displaystyle{ p \left( A \right)}\) i \(\displaystyle{ o \left( A \right)}\) wynika \(\displaystyle{ p \left( A \right) \leqslant o \left( A \right)}\) i teraz mam kłopot z udowodnieniem, ze \(\displaystyle{ o \left( A \right) \leqslant p \left( A \right)}\)...z góry dziękuje za wskazówki;)
zagadnienie powiązane z miarą zewnetrzną Lebesgue'a
zagadnienie powiązane z miarą zewnetrzną Lebesgue'a
Ostatnio zmieniony 5 lut 2015, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
zagadnienie powiązane z miarą zewnetrzną Lebesgue'a
Nie jestem ekspertem w tej gałęzi analizy, ale tak na oko: czy tam nie powinno być jakiegoś infimum przy tych sumach? Bo jeśli sumujemy po dowolnych \(\displaystyle{ P_n}\), to w tej postaci wszystkie trzy funkcje od zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie są zdefiniowane jednoznacznie.
Q.
Q.
zagadnienie powiązane z miarą zewnetrzną Lebesgue'a
racja, racja;)...niedopatrzenie juz poprawione;)