Matematyka.pl

Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę generowaną przez zbiory \(\displaystyle{ A=[-1,1]}\) oraz \(\displaystyle{ B=[0,5)}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\)

Wiem, że trzeba dokonać podziału na rozłączne atomy, czyli u nas byłoby to:

\(\displaystyle{ (-\infty,1),\,\,[-1,0],\,\,(0,1],\,\,(1,5),\,\,[5,+\infty)}\)

tj. 5 zbiorów, wówczas najmniejsza \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra będzie miała \(\displaystyle{ 2^5=32}\) elementy, czy tak? Proszę bardzo o odpowiedź.

W przypadku dwóch generatorów \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), atomami są te spośród zbiorów \(\displaystyle{ A \cap B}\), \(\displaystyle{ A^c \cap B}\), \(\displaystyle{ A \cap B^c}\), \(\displaystyle{ A^c \cap B^c}\), które są niepuste - w tym wypadku wszystkie cztery. Zatem są to:

\(\displaystyle{ (-\infty, -1) \cup [5, \infty), [-1, 0), [0, 1], (1, 5)}\)

i \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało ma \(\displaystyle{ 16}\) elementów.

Dziękuję pięknie Dasio za pomoc. Spróbowałem wypisać te zbiory. Czy mógłby ktoś sprawdzić czy jest w porządku?

1. \(\displaystyle{ \emptyset}\)
2. \(\displaystyle{ S_1=(\infty,-1)\cup[5,+\infty)}\)
3. \(\displaystyle{ S_2=[-1,0)}\)
4. \(\displaystyle{ S_3=[0,1]}\)
5. \(\displaystyle{ S_4=(1,5)}\)
6. \(\displaystyle{ S_1\cup S_2=(-\infty,0]\cup[5,+\infty)}\)
7. \(\displaystyle{ S_1\cup S_3=(\infty,-1)\cup[0,1]\cup[5,+\infty)}\)
8. \(\displaystyle{ S_1\cup S_4=(\infty,-1)\cup(1,+\infty)}\)
9. \(\displaystyle{ S_2\cup S_3=[-1,1]}\)
10. \(\displaystyle{ S_2\cup S_4=[-1,0)\cup(1,5)}\)
11. \(\displaystyle{ S_3\cup S_4=[0,5)}\)
12. \(\displaystyle{ S_1\cup S_2\cup S_3=(-\infty,1]\cup[5,+\infty)}\)
13. \(\displaystyle{ S_1\cup S_2\cup S_4=(-\infty,0)\cup(1,+\infty)}\)
14. \(\displaystyle{ S_1\cup S_3\cup S_4=(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)}\)
15. \(\displaystyle{ S_2\cup S_3\cup S_4=[-1,5)}\)
16. \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

Literówka w 6. się wkradła, powinno być \(\displaystyle{ S_1\cup S_2=(-\infty,0\red{)}\cup[5,+\infty)}\).