Matematyka.pl

Wyprowadzić wzór na objętość kuli w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).

Z rozważań dla kuli w \(\displaystyle{ \RR}\) oraz \(\displaystyle{ \RR^2}\) oraz \(\displaystyle{ \RR^3}\) wynika że objętość kuli w \(\displaystyle{ \RR^n}\) to \(\displaystyle{ V_n(r)=V_n(1) r^n\ (*)}\)
Tu \(\displaystyle{ V_n(1)=V_n}\) i oznacza objętość kuli jednostkowej w \(\displaystyle{ \RR^n}\) dlatego mamy odpowiednio \(\displaystyle{ V_1=2,\:V_2= \pi}\) oraz \(\displaystyle{ V_3= \frac{4 \pi }{3}}\) .

Uogólniając zasadę do \(\displaystyle{ n}\) tego wymiaru mamy równość łączącą pole przekroju z objętością, a jako że promień przekroju \(\displaystyle{ r= \sqrt{1-x^2}}\) więc z równości \(\displaystyle{ (*)}\) mamy zależność rekurencyjną:

\(\displaystyle{ V_n= \int_{-1}^{1}V_{n-1}\left( \sqrt{1-x^2}\right)^{n-1} \mbox{d}x}\)

co po podstawianiu \(\displaystyle{ x=\cos t}\) da

\(\displaystyle{ V_n= V_{n-1}\int_{-1}^{1}\sin^{n} t \mbox{d}t}\)

Rozwiązanie tej rekurencji w sopsób ogólny wymaga trochę zabawy z funkcją (bo można mniej ogólnie rozpatrując parzyste i nieparzyste indeksy) daje wynik:

\(\displaystyle{ V_n(r)= \frac{ \pi ^{ \frac{n}{2} }}{\Gamma\left( \frac{n}{2}+1 \right) } r^n}\)

Więcej informacji znajdziesz też tu:
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball]Volume of an n-ball[/url]
[url=http://www2.math.uconn.edu/~mariano/research/MathClubsp14%20.pdf]Rozwinięcie tematu całek który przemilczałem[/url]