Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \mathcal{A} \right)}\) będzie przestrzenią mierzalną, a \(\displaystyle{ \mu: \mathcal{A} \longrightarrow \left[ 0, \infty \right]}\) skończenie addytywną funkcją zbiorów taką, że \(\displaystyle{ \mu \left( \emptyset \right) =0}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu \(\displaystyle{ \left\{{A_{i}}\right\}_{i \ge 1}}\) takiego, że \(\displaystyle{ A_{i} \subset A_{i+1}}\) dla \(\displaystyle{ i \ge 1}\) mamy \(\displaystyle{ \mu \left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \right) = \lim_{i \to \infty} \mu \left( A_{i} \right)}\).

Jakieś wskazówki, proszę Państwa? ;-; Ktoś potrafiłby podać rozwiązanie? Sam raczej do niego nie dojdę - nie przepadam za teorią miary.

Ja też nie przepadam.

Implikacja w jedną stronę jest bardzo prosta: załóżmy, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą. Niech
\(\displaystyle{ B_1=A_1, B_2=A_2\setminus A_1, \dots}\) ogólnie \(\displaystyle{ B_n=A_n \setminus A_{n-1}}\) la \(\displaystyle{ n\ge 2}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } A_i= \bigcup_{i=1}^{ \infty }B_i}\), a ponadto dla \(\displaystyle{ i\neq j}\) mamy \(\displaystyle{ B_i \cap B_j=\varnothing}\), a zatem
\(\displaystyle{ \mu\left( \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_i \right)=\mu\left( \bigcup_{i=1}^{ \infty }B_i \right)= \sum_{i=1}^{ \infty }\mu(B_i)= \lim_{i \to \infty } \sum_{j=1}^{i}\mu(B_j)}\),
zaś \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{i}\mu(B_j)= \mu(B_1)+\sum_{j=2}^{i}\mu(A_j\setminus A_{j-1})= \mu(A_1)+\sum_{j=1}^{i}\left( \mu(A_j)-\mu(A_{j-1})\right) =\mu(A_i)}\), więc
\(\displaystyle{ \lim_{i \to \infty } \sum_{j=1}^{i}\mu(B_j)= \lim_{i \to \infty }\mu(A_i)}\)
i dostaliśmy
\(\displaystyle{ \mu\left( \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_i \right)=\lim_{i \to \infty }\mu(A_i)}\), \(\displaystyle{ \textbf{ q.e.d }}\)

-- 28 lis 2016, o 02:56 --

Implikacja w drugą stronę też nie jest trudna. Załóżmy, że
dla każdego ciągu \(\displaystyle{ \left\{{A_{i}}\right\}_{i \ge 1}}\) takiego, że \(\displaystyle{ A_{i} \subset A_{i+1}}\) dla \(\displaystyle{ i \ge 1}\) mamy \(\displaystyle{ \mu( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i})= \lim_{i \to \infty} \mu(A_{i}).}\) Pokażemy, że wówczas \(\displaystyle{ \mu}\) taka, jak w treści zadania jest miarą.
Otóż rozważmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ B_1, B_2, \dots}\) podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) należących do rodziny \(\displaystyle{ A}\) taki, że dla \(\displaystyle{ i\neq j}\) mamy \(\displaystyle{ B_i \cap B_j=\varnothing}\).
Niech \(\displaystyle{ A_1=B_1}\) oraz \(\displaystyle{ A_{k}=A_{k-1}\cup B_k}\) dla \(\displaystyle{ k\ge 2}\). Wówczas
\(\displaystyle{ A_1\subset A_2\subset}\)... i widzimy, że
\(\displaystyle{ A_i= \bigcup_{j \le i}^{}B_i \quad \ , \bigcup_{i=1}^{ \infty } A_i= \bigcup_{i=1}^{ \infty }B_i}\).
Więc dostajemy:
\(\displaystyle{ \mu\left( \bigcup_{i=1}^{ \infty }B_i \right)=\mu\left( \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_i \right)= \lim_{i \to \infty }\mu(A_i)= \lim_{i \to \infty }\mu\left( \bigcup_{j=1}^{i}B_j \right)}\),
zaś ze skończonej addytywności \(\displaystyle{ \mu}\) i rozłączności \(\displaystyle{ B_j}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \mu\left( \bigcup_{j=1}^{i}B_j \right)= \sum_{j=1}^{i}\mu(B_j)}\),
czyli \(\displaystyle{ \mu}\) jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru określoną na \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciele \(\displaystyle{ A}\), tj. miarą, c.n.d.-- 28 lis 2016, o 03:01 --W ogóle to takie rozumowanie jest dostępne na pewno w stu miejscach w necie, tak że gdybym coś zepsuł/za mało sprecyzował, to można sobie przeczytać.

Dziękuję. Wszystko wydaje się klarowne, ale czy nie powinniśmy jeszcze sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \mu(\emptyset)=0}\)?

No tak, tylko że \(\displaystyle{ \mu(\emptyset)=0}\) mamy w założeniach zadania, więc za bardzo nie ma czego sprawdzać. Ale to w sumie trzeba napisać.

Dobra, umknęło mi to akurat. Niemniej dziękuję za przeprowadzenie wnioskowania.