Matematyka.pl

Jak zapisać trójkąt \(\displaystyle{ T=\left\{ (x,y) \in R^2 : 0 <x<1, 0<y<x\right\}}\) jako suma prostokątów? Pierwsze na myśl przyszło mi zastosowanie jakoś całki podwójnej, ale nie wiem jak.

A możesz podać dokładnie o co chodzi? Bo czym innym jest liczenie całki po takim obszarze (tu dzielimy obszar na skonczenie wiele kawałków, niekoniecznie prostokątnych) a czym innym przestawienie obszaru jako sumy prostokątów (ta musi być nieskończona).
Czy te prostokąty maja być z brzegami, czy bez, czy mogą się nakładać na siebie, czy mogą mieć wspólne brzegi?

Okej, podam całą treść.

Zapisać trójkąt \(\displaystyle{ T=\left\{ (x,y) \in R^2 : 0<x<1, 0<y<x\right\}}\) jako sumę prostokątów. Zauważyć, że wystarczy wysumować przeliczalnie wiele prostokątów, aby taki trójkąt uzyskać.

Wysokość dzielę na n części:
\(\displaystyle{ P= \lim_{n \to \infty } \left( 1 \cdot \frac{1}{n} +(1-\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{n}+(1-\frac{2}{n}) \cdot \frac{1}{n}+(1-\frac{3}{n}) \cdot \frac{1}{n}+...+(1-\frac{n-1}{n}) \cdot \frac{1}{n}\right) =\\
= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left( n \cdot 1-( \frac{1}{n}+ \frac{2}{n}+...+ \frac{3}{n-1})\right) = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left( n - \frac{1}{n}( 1+2+3+....+(n-1))\right) =\\
= \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left( n - \frac{1}{n} \cdot \frac{(n-1)n}{2} \right)= \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n} \left( 1 - \frac{n-1}{2n}\right)=1- \frac{1}{2}= \frac{1}{2}}\)

Czy ten zapis będzie równoważny?

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}(1- \frac{k}{n}) \frac{1}{n}}\)

To jakis matrix?
Przecież to nie jest sposób na przedstawienie trójkąta jako sumy prostokątów. To jest sposób jak aproksymowac trójkąt prostokątami, ale przecież nie o to chodzi w zadaniu.

-- 11 gru 2016, o 13:07 --

Jakiś pomysł naprowadzający?

Patrz... i myśl

No patrzę na ten rysunek i nie wydaje mi się aby skończoną liczbą takich prostokątów dało się wypełnić cały trójkąt.

A czy ktoś tak twierdzi?

Zauważyć, że wystarczy wysumować przeliczalnie wiele prostokątów, aby taki trójkąt uzyskać.

Myślałem, że to coś znaczy.

Przeliczalnie to nie znaczy skończenie wiele. To znaczy, że można je ponumerować liczbami naturalnymi.

Przy jakim temacie pojawiło się to zadanie?

Spójrz tutaj na \(\displaystyle{ 0.4.5}\)
http://www.math.uni.wroc.pl/~grzes/dyda ... r_main.pdf

Benny01 pisze:Spójrz tutaj na \(\displaystyle{ 0.4.5}\)
http://www.math.uni.wroc.pl/~grzes/dyda ... r_main.pdf

No widzisz, zajrzałeś do 0.4, ale nie przeczytałeś rozdziału 0.2. Matematyki nie da się robić skokowo.
Jak chcesz się zabrać za miarę i całkę, to podstawowe pojęcia teorii mnogości powinieneś mieć opanowane.

Dobra to może inaczej.
Te prostokąty muszą mieć końce wymierne, aby były przeliczalne?