Załóżmy, że \(\displaystyle{ P}\) jest prostokątem, \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ograniczoną na \(\displaystyle{ P}\) i dla pewnego podziału \(\displaystyle{ \PP}\) prostokąta \(\displaystyle{ P}\) suma całkowa dolna \(\displaystyle{ L_{\PP} (f)}\) równa się sumie górnej \(\displaystyle{ U_{\PP} (f)}\). Czy \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna?
Ile wynosi \(\displaystyle{ \iint_{P} f dP}\)?
Podobnie załóżmy, że \(\displaystyle{ D}\) jest obszarem mierzalnym, \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona na \(\displaystyle{ D}\) oraz dla pewnego prostokąta \(\displaystyle{ P}\) zawierającego \(\displaystyle{ D}\) istnieje jego podział \(\displaystyle{ \PP}\), dla którego \(\displaystyle{ L_{\PP|D}(f) = U_{\PP|D}(f)}\).
Co można wtedy powiedzieć o \(\displaystyle{ f}\) i całce
\(\displaystyle{ \iint_{P} f dP}\)?
