Matematyka.pl

Zakładamy, że \(\displaystyle{ M}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem w \(\displaystyle{ \mathbb {R}}\), do którego należą wszystkie przedziały \(\displaystyle{ (a, b]}\), gdzie \(\displaystyle{ a \mathbb {Q}}\). Uzasadnić, że zbiory: \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\), \(\displaystyle{ [-2,1]}\), \(\displaystyle{ [-2,1)}\), \(\displaystyle{ (-2,1)}\) również należą do \(\displaystyle{ M}\). Z jakich własności \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała korzystamy?

\(\displaystyle{ \{1\}= \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(1-\frac 1n,1\right]}\) (zamknietosc na przeciecia)


\(\displaystyle{ [-2,1]= \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(-2-\frac 1n,1\right]}\) (zamknietosc na przeciecia)

\(\displaystyle{ [-2,1)= \bigcup_{m\in\mathbb{N}}\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left(-2-\frac 1n,1-\frac 1m\right]}\) (zamknietosc na przeciecia i sumy)

\(\displaystyle{ (-2,1)= \bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(-2,1-\frac 1n\right]}\) (zamknietosc na sumy)

Wielkie dzięki.. czyli korzystamy tutaj może z takiej definicji: \(\displaystyle{ (a,b), to \bigvee_{a_n, b_n} (a,b)= \bigcup_{n=1}^{ } ( a_n, b_n )}\), czy po prostu z trzeciego warunku na sigmaciało?

\(\displaystyle{ \Omega \mathcal A}\)


\(\displaystyle{ A \mathcal A A^{\mathrm c} \mathcal A\quad , A^{\mathrm c}=\Omega\setminus A}\)

\(\displaystyle{ A_1,A_2, \ldots \mathcal A \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \mathcal A.}\)

Zamknietosc na sumy to trzeci warunek, a na przeciecia wynika z drugiego i trzeciego, bo:

\(\displaystyle{ \bigcup A_i=\left(\bigcap A_i^c\right)^c}\).