Mam zadanie:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ S P(X)}\) jest sigma ciałem, funkcja \(\displaystyle{ f:Y X}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ S _{1} = \{ f ^{-1} ft( A\right): A S\}}\) jest sigma ciałem.
Mógłby ktoś napisać rozwiązanie?
dzięki:)
sigma ciało
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
sigma ciało
1)
Ponieważ \(\displaystyle{ \emptyset\in S}\), więc \(\displaystyle{ \emptyset=f^{-1}(\emptyset)\in S_1}\)
2)
Niech \(\displaystyle{ B\in S_1}\), czyli \(\displaystyle{ B=f^{-1}(A)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ A\in S}\). Wówczas \(\displaystyle{ Y\setminus B=f^{-1}(X\setminus A)\in S_1}\), bo \(\displaystyle{ X\setminus A\in S}\).
3)
Niech \(\displaystyle{ B_1,B_2,\ldots\in S_1}\), czyli \(\displaystyle{ B_i=f^{-1}(A_i)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ A_i\in S}\) oraz \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots}\). Wówczas \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^\infty B_i=f^{-1}(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)\in S_1}\), bo \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in S}\).
Zatem \(\displaystyle{ S_1}\) jest sigma-ciałem.
Ponieważ \(\displaystyle{ \emptyset\in S}\), więc \(\displaystyle{ \emptyset=f^{-1}(\emptyset)\in S_1}\)
2)
Niech \(\displaystyle{ B\in S_1}\), czyli \(\displaystyle{ B=f^{-1}(A)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ A\in S}\). Wówczas \(\displaystyle{ Y\setminus B=f^{-1}(X\setminus A)\in S_1}\), bo \(\displaystyle{ X\setminus A\in S}\).
3)
Niech \(\displaystyle{ B_1,B_2,\ldots\in S_1}\), czyli \(\displaystyle{ B_i=f^{-1}(A_i)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ A_i\in S}\) oraz \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots}\). Wówczas \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^\infty B_i=f^{-1}(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)\in S_1}\), bo \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in S}\).
Zatem \(\displaystyle{ S_1}\) jest sigma-ciałem.