Matematyka.pl

Mamy zbiór: \(\displaystyle{ Z = \left\{ f: D \rightarrow \mathbb{R}: D \in \Sigma, \mu(X \setminus D)=0, \ \bigvee E \subseteq X: \mu(E)=0, \ f_{D \setminus E}\ \small\textsf{jest mierzalna względem}\ \Sigma \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ f_{D \setminus E}}\) oznacza zawężenie funkcji do zbioru \(\displaystyle{ D \setminus E}\). Pokazać, że:
1. Jeśli \(\displaystyle{ f,g \in Z}\), to \(\displaystyle{ f+g,f \cdot g,c \cdot f,\frac{f}{g} \in Z}\).
2. \(\displaystyle{ h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest funkcją borelowską, to \(\displaystyle{ h \circ f \in Z}\).

Pytanie jest o funkcje które są mierzalne na zbiorze pełnej miary. Weźmy zatem \(\displaystyle{ f,g\in Z}\) oraz odpowiadające zbiory \(\displaystyle{ E_f, E_g}\) miary zero oraz zbiory \(\displaystyle{ D_f, D_g}\) pełnej miary. Bez straty ogólności możemy zawęzić \(\displaystyle{ f,g}\) do \(\displaystyle{ D=D_f\cap D_g}\). Zbiór \(\displaystyle{ E=E_f\cup E_g}\) też jest miary zero oraz, w szczególności, funkcje \(\displaystyle{ f|_{D\setminus E}, g|_{D\setminus E}}\) są mierzalne. Wynika stąd, że funkcje \(\displaystyle{ (f+g)|_E, (fg)|_E}\) oraz \(\displaystyle{ (f/g)_{E}}\) są mierzalne względem \(\displaystyle{ \Sigma}\) (w ostatnim przypadku zakładamy, że dzielenie ma sens).

Ponieważ złożenie funkcji mierzalnej z funkcją borelowską jest mierzalne, funkcja \(\displaystyle{ (h\circ f)|_{E_f}}\) jest mierzalna.