Matematyka.pl

Dane jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało \(\displaystyle{ F\subset 2^\Omega}\) zbiorów przeliczalnych i zbiorów o przeliczalnych dopełnieniach. Pokazać, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) jest nieprzeliczalny, to zawiera on taki zbiów \(\displaystyle{ A}\), który nie należy do tego \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała.

Z góry dziękuję za jakiekolwiek wskazówki.

Wystarczy pokazać, że można rozbić \(\displaystyle{ \Omega}\) na dwa zbiory rozłączne nieprzeliczalne.
Wynika to z takiej równości dla nieskończonych liczb kardynalnych: \(\displaystyle{ \kappa+\kappa=\kappa}\).
Teraz wystarczy przenieść odpowiednią bijekcję na \(\displaystyle{ \Omega}\)

Rozwiązanie Zordona nieco rozwinięte:

Wystarczy skorzystać z tego, że zbiór nieskończony \(\displaystyle{ \Omega}\) jest równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ \Omega\times \{0,1\}}\), czyli istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:\Omega\to\Omega\times\{0,1\}}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ \pi:\Omega\times\{0,1\}\to\{0,1\}}\) jest rzutowaniem na drugą współrzędną, to kładziemy \(\displaystyle{ A=(\pi\circ f)^{-1}(0)}\).