Matematyka.pl

Czy \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało jest \(\displaystyle{ \pi}\)-układem?
Do czego jest wprowadzone pojęcie \(\displaystyle{ \pi}\)-układu?

Tak, \(\displaystyle{ \sigma}\)- ciało jest \(\displaystyle{ \pi}\)-układem. Dowód tego faktu jest dość łatwy. Jest on dość użyteczny w dowodzeniu twierdzeń z rachunku prawdopodobieństwa (w szczególności jeśli chodzi o niezależność klas), gdyż wykorzystuje się tam twierdzenie (przez niektórych nazywanym twierdzeniem Dynkina) o \(\displaystyle{ \lambda}\)- i \(\displaystyle{ \pi}\)- układach.

Czy mógłbyś podać przykład klasy, która nie jest \(\displaystyle{ \pi}\)-układem?

Jak dobrze pamiętam ze Sztencla, to \(\displaystyle{ \pi}\)-układ to taka klasa \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) zbiorów, że dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B \in \mathcal{A}}\) mamy \(\displaystyle{ A \cap B \in \mathcal{A}}\). Więc przykład może być doprawdy trywialny, np.
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left\{ \varnothing, \left\{ 1,2\right\},\left\{ 1, 3\right\} \right\}}\)
wtedy \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}= \left\{ 1,2\right\}\cap\left\{ 1, 3\right\}\notin \mathcal{A}}\), zatem \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) nie jest \(\displaystyle{ \pi}\)-układem.

Racja, cały czas myślałem o odcinkach.
Czemu w definicji jest mowa o skończonych iloczynach?
Coś się popsuje, jeśli weźmiemy nieskończony, ale przeliczalny iloczyn?