Jak pokazać , że przy określonych :
\(\displaystyle{ \sigma_{1}= \sigma (\{ (a,b], a,b \in \mathbb{R}, a<b \})}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma_{2}=\sigma(\{
[p,q],\ p,q \in \mathbb{Q}, p<q\})}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \sigma_{1} = \sigma_{2}}\) ?
Sigma ciała
-
pawelstud94
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 18 paź 2017, o 22:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
-
szw1710
Re: Sigma ciała
Oba sigma-ciała to rodzina podzbiorów borelowskich w \(\displaystyle{ \RR}\). Idź w tym kierunku wiedząc czym są zbiory borelowskie.
Możesz też sprawdzić, że generatory \(\displaystyle{ \sigma_1}\) dostajesz dozwolonymi operacjami z \(\displaystyle{ \sigma_2}\) i vice versa.
Możesz też sprawdzić, że generatory \(\displaystyle{ \sigma_1}\) dostajesz dozwolonymi operacjami z \(\displaystyle{ \sigma_2}\) i vice versa.
-
pawelstud94
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 18 paź 2017, o 22:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
Re: Sigma ciała
Rozumiem,że mogę zapisać wobec tego, że \(\displaystyle{ (a,b] =\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [a+\frac{1}{n},b]}\) oraz \(\displaystyle{ [p,q] = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} (p-\frac{1}{n}, q+\frac{1}{n})}\).
Jednocześnie określając:
\(\displaystyle{ p_{n}}\) takie, że \(\displaystyle{ p_{n}>a, p_{n}\to a, p_{n}\in \mathbb{Q}}\) , \(\displaystyle{ q_{n}: q_{n}\in \mathbb{Q} , q_{n}, q_{n} \le b, q_{n}\to b}\)
mam inaczej, że \(\displaystyle{ (a,b] =\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [p_{n},q_{n}]}\) .
i w związku z tym \(\displaystyle{ \sigma_{1} \subseteq \sigma_{2}}\) . Czy to rozumowanie jest poprawne i można w ten sposób ?
Jednocześnie określając:
\(\displaystyle{ p_{n}}\) takie, że \(\displaystyle{ p_{n}>a, p_{n}\to a, p_{n}\in \mathbb{Q}}\) , \(\displaystyle{ q_{n}: q_{n}\in \mathbb{Q} , q_{n}, q_{n} \le b, q_{n}\to b}\)
mam inaczej, że \(\displaystyle{ (a,b] =\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} [p_{n},q_{n}]}\) .
i w związku z tym \(\displaystyle{ \sigma_{1} \subseteq \sigma_{2}}\) . Czy to rozumowanie jest poprawne i można w ten sposób ?
-
szw1710
Re: Sigma ciała
Do \(\displaystyle{ b}\) możesz nie podejść przez \(\displaystyle{ q_n}\). Tam masz przedział domknięty więc trzeba wziąć przekrój i \(\displaystyle{ q_n}\) powyżej \(\displaystyle{ b}\).
Może tak? Niech \(\displaystyle{ b>p_n\to a_+}\) oraz \(\displaystyle{ b<q_m\to b_+}\) (żądamy aby zawsze \(\displaystyle{ p_n<q_m}\), co spokojnie da się osiągnąć).
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_n [p_n,b]=\bigcup_n\bigcap_m [p_n,q_m].}\)
Może tak? Niech \(\displaystyle{ b>p_n\to a_+}\) oraz \(\displaystyle{ b<q_m\to b_+}\) (żądamy aby zawsze \(\displaystyle{ p_n<q_m}\), co spokojnie da się osiągnąć).
\(\displaystyle{ (a,b]=\bigcup_n [p_n,b]=\bigcup_n\bigcap_m [p_n,q_m].}\)
-
pawelstud94
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 18 paź 2017, o 22:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy