Wykaż, że każde \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało jest klasą monotoniczną, a każde ciało będące klasą monotoniczną jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem.
Czy ktoś mógłby mi pomóc z tym zadaniem? Proszę
Sigma algebry a klasy monotoniczne
-
szw1710
Sigma algebry a klasy monotoniczne
Sigma-ciało jest klasa monotoniczną, bo klasa monotoniczna obejmuje sumy i iloczyny przeliczalnych ciągów zbiorów, ale niekoniecznie wszystkich, odpowiednio wstępujących i zstępujących. Więc definicja sigma-ciała wymusza monotoniczność. Druga część - mamy, że sumy i iloczyny skończenie wielu zbiorów rozważanej rodziny do niej należą. Musimy wykazać, że i przeliczalne, ale dowolne. Więc co do sumy weźmy dowolny ciąg zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) i utwórzmy ciąg \(\displaystyle{ B_n=A_1\cup\dots\cup A_n}\), a co do iloczynów \(\displaystyle{ C_n=A_1\cap\dots\cap A_n.}\) Co powiemy o tych nowych ciągach? Wykorzystaj założenie monotoniczności klasy.